Definice akce

Hamiltonův variační princip vychází z následujícího tvrzení:

Pohyb soustavy hmotných bodů v časovém intervalu  se děje tak, že platí

,

(130)

kde  je tzv. funkcionál času definovaný vztahem

(131)

pro  (kde  je počet stupňů volnosti dané soustavy).  je přitom Lagrangeova funkce popisující danou soustavu.

Ve vztahu (131) symbol  znamená časovou derivace j-té zobecněné souřadnice, tj. . Dále je nutné si uvědomit, že do vztahu (131) se dosazuje konkrétní průběh jedné trajektorie, čímž se převede langrangeova funkce L, která obecně závisí na časovém průběhu zobecněné souřadnice , na časovém průběhu zobecněné rychlosti  a na čase, na funkci jedné proměnné - času.

Tedy místo  po dosazení konkrétní trajektorie, tj. průběhu , získáme .

S je tzv. funkcionál, tedy jakési zobrazení přiřazující dané hladké funkci reálné číslo.

Do výpočtu tedy vstupuje průběh závislosti polohy na čase popisující trajektorii (tj. funkce ) a výsledkem je číslo uložené v proměnné S.

Význam vztahu (130) je nutno chápat takto:

1.     Variace akce je nulová.

Variace („změna“) je označena symbolem , akce je pak označena symbolem S.

2.     Skutečná trajektorie, po níž se soustava pohybuje a jejíž tvar hledáme, je taková, že akce S pro tuto trajektorii nabývá stacionární hodnotu. To znamená, že první derivace S je nulová. Této hodnotě první derivace odpovídá buď extrém (lokální minimum nebo lokální maximum) a nebo inflexní bod (viz obr. 51).

Různým trajektoriím (různým funkcím ) jsou přiřazeny různé hodnoty S. Z těchto různých (hypotetických) trajektorií vybíráme tu skutečnou trajektorii, která má extremální hodnotu proměnné S.

Pro variační princip a z něj plynoucí výpočty je důležité, aby se průběh studované veličiny (akce S) na „chvilku zastavil“ - to se v ve všech případech zobrazených na obr. 51 skutečně stane.

Obr. 51

Reálné děje v přírodě se tedy vyvíjejí tak, že mají stacionární hodnoty akcí.

Příroda tedy vybírá takové stavy, které jsou: nejmenší, největší nebo podobné ostatním (tomuto stavu odpovídá inflexní bod).

Trajektorie, které nalezneme pomocí variačního principu, jsou přitom ty, které vyplývají z Lagrangeových rovnic (47) nebo z Newtonových rovnic.

Je zajímavé si všimnout jednotky akce S: . Stejnou jednotku přitom má i Planckova konstanta h. To není náhoda - pro Feynmanovský popis kvantové fyziky je důležitá veličina  odpovídající jakési fázi, pro kterou tak platí .

Právě definovaný přístup k řešení úloh není omezen jen na mechaniku. Tento princip lze aplikovat i na řešení úloh z elektromagnetického pole, z části kvantové fyziky a další polní teorie (obecná teorie relativity jako teorie gravitace, popis chování bosonů, popis chování fermionů, …). Základní princip popisu a hledání řešení zůstává stejný, mění se konkrétní veličina, pomocí níž je akce definována.