Obecné pojmy

Geometrická symetrie Lagrangeovy funkce souvisí se zákony zachování ve fyzice. Poprvé si tuto skutečnost uvědomila německá matematička Amalie Emmy Noetherová (1882 - 1935). V roce 1918 formuluje princip, který ve svých důsledcích změnil fyziku 20. století. Tento princip se stal východiskem např. pro kvantovou fyziku právě proto, že dával do souvislosti geometrické symetrie a zákony zachování.

Má-li systém a tedy i jeho příslušná Lagrangeova funkce  nějakou symetrii, pak existuje jí odpovídající fyzikální veličina, která se zachovává.

Zachovávající se veličinou je integrál pohybu.

Tuto obecnou formulaci lze přepsat v konkrétnějším tvaru.

Pokud

(159)

nemění svůj tvar při infinitezimálních transformacích času a zobecněných souřadnic popsaných vztahy

a

(160)

pro , kde  je malý reálný parametr () a  a  libovolné hladké funkce původních souřadnic (tj.  a ), pak se zachovává veličina

(161)

a  je integrál pohybu, tedy .

Funkce  a  jsou generátory symetrie a obecně to jsou prvky Lieovy grupy.

Důkaz lze provést na základě geometrického rozboru dané problematiky s využitím variet, Lagrangeova pole, … Ten ovšem provádět nebudeme.

Existují tři hlavní globální symetrie, které určují vlastnosti prostoru a času:

1.     translace prostoru - vyplývá z homogenity prostoru;

Popis systému se nezmění, jestliže se posuneme posuvným pohybem do jiného místa prostoru.

2.     rotace prostoru - vyplývá z izotropie prostoru;

Popis systému se nezmění, jestliže se nakloníme, uděláme stojku, … a budeme popisovat systém z pohledu takto otočené soustavy.

3.     translace času.

Popis systému se tedy nezmění, jestliže hodiny, pomocí nichž měříme čas při určitém ději, zapneme o chvíli později.

Na základě těchto symetriích, které aplikujeme na prostor a čas v Newtonovské fyzice, lze získat tři zákony zachování, které lze využít při řešení úloh. Newtonovský prostor má tedy pro řešení úloh velmi pěkné vlastnosti.