Definice a matematické vlastnosti

Francouzský matematik a fyzik Siméon Denis Poisson (1781 - 1840) zavedl v roce 1809 symboliku, která se používá dodnes. Říká se jí Poissonovy závorky.

Mějme dvě funkce  a  definované ve fázovém prostoru. Pak lze ve fázovém prostoru definovat novou funkci stejných proměnných jako mají funkce  a  předpisem

,

(198)

kde  jsou zobecněné souřadnice,  jsou kanonické hybnosti (pro ) a  je počet stupňů volnosti. Funkce  se nazývá Poissonova závorka funkcí  a .

Poissonovy závorky je tedy označení pro operaci, která se provádí se dvěma funkcemi a jejímž výsledkem je opět funkce.

V literatuře se Poissonovy závorky občas značí symbolem , případně se definují s opačným znaménkem.

Počítání s Poissonovými závorkami se řídí těmito pravidly:

1.     Poissonovy závorky jsou antisymetrickou operací, tj. platí

;

(199)

2.     Poissonovy závorky jsou lineární, tj. pro  platí

;

(200)

Tento vztah tedy ukazuje, že Poissonovy závorky jsou lineární v prvním argumentu. Z antisymetrie závorek vyplývá, že závorky jsou lineární i ve druhém argumentu.

3.     Poissonovy závorky splňují tzv. Jacobiho identitu

;

(201)

4.     Poissonovy závorky lze aplikovat i na součin funkcí

.

(202)

Tento vztah vyplývá ze vztahu pro derivaci součinu dvou funkcí (tzv. Leibnitzovo pravidlo). Vzhledem k tomu, že výsledkem Poissonových závorek je funkce, lze např. člen  psát i ve tvaru , protože násobení funkcí je komutativní.

Ze vztahů (199), (200) a (201) vyplývá, že Poissonovy závorky definované na fázovém prostoru vztahem (198) tvoří tzv. Lieovu grupu (jsou to bilineární operace na vektorovém prostoru).

V kvantové mechanice se Poissonovy závorky stávají operátory a obecně už komutativní nejsou.