Zavedení úhlové rychlosti

Uvažujme libovolný časově závislý vektor , který budeme zkoumat jak v pevné bázi , tak v korotující bázi .

Korotující báze  je skutečně závislá na čase, neboť rotuje spolu s tuhým tělesem.

Souřadnice  resp.  vektoru  můžeme vyjádřit v obou uvažovaných bázích pomocí vztahů

(229)

resp.

.

(230)

Ve vztahu (230) se mění v závislosti na čase jak souřadnice uvažovaného vektoru, tak vektory korotující báze. Pro bázové vektory obou bází přitom platí vztahy

a

(231)

a dále platí

.

(232)

Vztahy (231) a (232) jsou analogické jako vztahy (226) a (227) jsou jen přepsány ve vhodných indexech pro další odvozování. Pro časovou změnu vektoru  vůči pevnému inerciálnímu systému můžeme postupně psát:

.

(233)

Vektor  popisujeme vzhledem k pevnému inerciálnímu systému, ale vyjádřili jsme ho jak z hlediska pevné báze, tak z hlediska korotující báze.

Byly by další dvě možnosti, jak situaci vyšetřovat: definovat vektor vzhledem k soustavě, která se pohybuje spolu s tuhým tělesem a vyjádřit ho jak v korotující bázi (její vektory by se v čase neměnily), tak v pevné bázi, jejíž vektory by se tentokráte měnily. Vztažná soustava by se totiž vůči pevné bázi pohybovala.

S využitím obou vztahů (231), můžeme vztah (233) přepsat ve tvaru . Dostáváme tedy vztah

,

(234)

v němž jsme označili

.

(235)

Vztah (235) lze též zapsat v ekvivalentním tvaru

;

(236)

zavedli jsme tedy matici  s prvky  definovanými vztahem (235).

Důvod, proč je matice značená bez čárky a její prvky s čárkou, bude vysvětlen později.

Lze vyslovit následující tvrzení:

Matice  je antisymetrická.

Toto tvrzení snadno dokážeme. Prvky matice  splňují relace ortogonality (232), neboť na základě nich byla matice  odvozena. Časovou derivací vztahu (232) dostaneme , odkud vyjádříme . Vzhledem k symetričnosti matice A můžeme psát  a na základě vztahu (235) dostaneme , což znamená, že matice  je antisymetrická a má tedy jen tři nezávislé prvky. Podle právě odvozeného vztahu je zřejmé, že na hlavní diagonále matice  jsou nuly, takže zbývá určit její tři nezávislé prvky. Ostatní tři jsou již jednoznačně určeny - jsou to opačná čísla k číslům vyjadřující ony tři nezávislé prvky uvažované matice.

Proto můžeme provést tzv. přirozené mapování (přirozené zobrazení, operaci duality), při kterém antisymetrické matici přiřadíme vektor  se složkami:

,

(237)

kde  je Lewi-Civitův symbol (Lewi-Civitův tenzor). Provedeme-li naznačený součet podle proměnné k, dostaneme

.

(238)

Pro i-tou složku vektoru  můžeme totiž psát , přičemž jsme nepsali ty členy, které rovnou obsahují dva stejné indexy (např. ). Lewi-Civitiův symbol, který má dva indexy stejné, je totiž nulový.

Vektor  definovaný vztahem (237) je vektor úhlové rychlosti otáčení tuhého tělesa.

K vektoru  je nutné uvést několik poznámek:

1.      je duální pseudovektor a to proto, že přirozené mapování provedené vztahem (237) (tj. definice jednotlivých složek vektoru ) není jednoznačné: při změně levotočivé báze na pravotočivou bázi (nebo naopak) se změní znaménka jeho souřadnic. Tato změna znamének by ale neměla nastávat často - ve fyzice se k popisu pohybujících se hmotných bodů a těles používá levotočivý kartézský systém souřadnic (tj. ten, který má osy x, y a z orientovány podle pravidla pravé ruky). Skutečnost, že  je pseudovektor vyplývá z toho, že i Levi-Civitův symbol  je pseudovektor.

2.     Přiřazení pomocí vztahu (237) lze korektně provést jen ve trojrozměrném prostoru, neboť matice  má tři nezávislé prvky a vektor  má také tři nezávislé složky.

V teorii relativity, v teorii elektromagnetického pole a dalších oborech fyziky je nutné popisované přiřazení provést tak, že matici přiřadíme matici (nikoliv vektor).

3.     Vektor  má složky definované vůči korotující bázi , proto jsou jeho složky i prvky matice  označeny symboly  resp. .

Tím je vysvětlen zdánlivý rozpor ve značení ve vztazích (235) a (236).

Analogicky lze vytvořit z vektoru matici, tj. napsat ke vztahu (237) duální vztah ve tvaru

.

(239)

Ve vztahu (239) ve srovnání se vztahem (237) chybí činitel 0,5. To proto, že na levé straně vztahu (239) je veličina indexovaná dvěma indexy a existuje tedy jediná možnost přiřazení.

Nyní budeme pokračovat v úpravě vztahu (234), ve kterém nejdříve provedeme záměnu indexů: .

Tato úprava se používá proto, aby se zpřehlednil zápis daného vztahu nebo aby se sjednotilo značení indexů u veličin, které spolu souvisejí.

Dosazením ze vztahu (239) získáme . Provedením cyklické záměny indexů Levi-Civitova symbolu dostaneme . Souřadnici  vektoru  můžeme v daném součinu umístit na jakékoliv místo, neboť  je složka vektoru (tedy číslo). Další úpravou je využití definice vektorového součinu:

.

(240)

Tento vztah popisuje časovou derivaci libovolného vektoru  vzhledem ke zvolenému inerciálnímu systému v prostoru vyjádřenou v korotující bázi . V právě uvedeném vztahu popisuje člen  změnu vektoru , jehož souřadnice jsou definovány vztahy (229) a (230), vůči korotující bázi  a člen  odpovídá přechodu mezi dvěma bázemi při popisu uvažovaného tuhého tělesa rotujícího úhlovou rychlostí .

 

Platí-li daný vztah mezi určitými vektory v jedné bázi, platí v každé bázi. Proto můžeme psát

(241)

bez ohledu na konkrétní bázi.

Tento vztah je velmi důležitý, a proto vyžaduje několik komentářů:

1.      a  jsou dva různé vektory, nikoliv jeden vektor vyjádřený v různých bázích;

2.     pokud zvolíme , kde  je polohový vektor popisující polohu objektu na rotujícím tuhém tělesu, pak člen  definuje rychlost pohybu hmotného bodu na tuhém tělese vůči vnějšímu pozorovateli;

3.     při stejné volbě pak člen  definuje rychlost pohybu hmotného bodu na tuhém tělese vůči tomuto tuhému tělesu

Obr. 60

Můžeme si představit situaci zobrazenou na obr. 60. Po kolotoči se pohybuje technik a jeho pohyb pozoruje dítě na kolotoči i pozorovatel mimo kolotoč. Dítě na kolotoči vnímá pouze vlastní pohyb technika vůči kolotoči (popsaný výrazem ), zatímco pozorovatel zvenčí vidí rotační pohyb technika na kolotoči: k tomu, co pozoruje dítě musí přidat ještě oběžný pohyb kolotoče (člen  ve výrazu (241)).

Kolotoč zobrazený na obr. 60 představuje speciální otáčení: otáčení s pevnou osou (rotace s pevnou osou).