Geometrická konstrukce zlatého řezu

Zkonstruovat zlatý řez ve shodě s geometrickým řešením úloh řecké matematiky je možné třemi postupy. První konstrukce je zobrazena na obr. 26.

1.     Sestrojíme úsečku AB délky a.

2.     Najdeme její střed S.

3.     V bodě S sestrojíme k úsečce AB kolmici SM délky a.

4.     Z bodu B opíšeme kružnici s poloměrem rovným polovině délky úsečky AB (tj. délce úsečky AS).

5.     Na průsečíku této kružnice a úsečky MB vznikne bod X.

6.     Poměr délek úseček MX a AB je roven zlatému řezu.

Zdůvodnění tohoto postupu vyplývá z geometrického řešení rovnic.

Obr. 26

Druhá konstrukce zlatého řezu vyplývá z Eukleidovy věty o výšce. Rovnici (12) přepíšeme do tvaru  a porovnáme ji s matematickým vyjádřením Euklediovy věty o výšce. Zjistíme, že stačí uvažovat pravoúhlý trojúhelník s odvěsnou délky  a s výškou k této přeponě o délce a (viz obr. 27). Samotnou konstrukci provedeme v těchto krocích:

1.     Sestrojíme úsečku AB délky a.

2.     Najdeme její střed S.

3.     V bodě A sestrojíme k úsečce AB kolmici AP délky a.

4.     Sestrojíme kružnici se středem S a poloměrem délky SP.

5.     Tato kružnice protne přímku AB v bodech C a D.

6.     Poměr délek úseček AC a AB je roven zlatému řezu.

Vzhledem k tomu, že body C a D tvoří průměr sestrojené kružnice, je tato kružnice Thaletovou kružnicí. Proto je podle Thaletovy věty trojúhelník CDP pravoúhlý. Jeho výška AP na přeponu CD dělí tuto přeponu na dva úseky: úsek CA délky x a úsek AD délky a + x. Eukleidovu větu o výšce pro trojúhelník CDP můžeme proto psát ve tvaru ; a to je vztah, který jsme získali úpravou rovnice (12) definující zlatý řez.

Obr. 27

Třetí konstrukce zlatého řezu je patrně nejjednodušší a můžeme jí sledovat podle obr. 28:

1.     Sestrojíme čtverec ABCD o straně délky a.

2.     Najdeme střed S úsečky AB.

3.     Z bodu S opíšeme kružnici o poloměru rovném délce úsečky SC.

4.     Průsečík této kružnice a polopřímky AB je bod E.

5.     Z bodu E vztyčíme kolmici o délce a k polopřímce AB. Tak získáme bod F.

6.     Délka úsečky AE je rovna , tj. je krát delší, než je délka strany čtverce ABCD.

Obr. 28

Zdůvodnění výše uvedené konstrukce vyplývá z Pythagorovy věty aplikované na trojúhelník SBC. Pro délku úsečky SC (tj. pro poloměr kružnice sestrojené z bodu S) postupně dostáváme: . Uvědomíme-li si, že délky úseček SC a SE jsou navzájem stejné, pak pro délku úsečky AE můžeme psát: . S využitím vztahu (14) tedy můžeme psát .

Je tedy zřejmé, že délky stran obdélníka AEFD jsou v poměru . Délky stran obdélníka BEFC jsou v poměru , přičemž předposlední krok v rovnosti poměrů byl učiněn na základě číselné vlastnosti zlatého řezu popsané vztahem (15). Oba tyto obdélníky jsou proto tzv. zlaté obdélníky.