Pohyb hmotného bodu po kružnici

Pohyb po kružnici je nejjednodušším příkladem křivočarého pohybu.

V praxi se s ním setkáváme velice často: rotující kulička na provázku, kolotoč, brusný kotouč, pohyb CD v mechanice přehrávače (resp. počítače), pohyb Země kolem vlastní osy i oběh kolem Slunce, ...

Poloha hmotného bodu na kružnici je určena průvodičem, jehož velikost je rovna poloměru r kružnice, po níž se daný hmotný bod pohybuje. Přejde-li hmotný bod z bodu A do bodu B, opíše průvodič úhel (někdy se mu říká úhlová dráha). Jednotkou úhlové dráhy je radián, .

Rad je zkratka za radián - jednotka rovinného úhlu. Ačkoliv se v praxi používají mnohem častěji úhly, ve fyzice se dává přednost radiánům (lépe vyhovuje jednotka, …). Převody mezi radiány (tzv. míra oblouková) a stupni (tzv. míra stupňová) lze provádět pomocí trojčlenky, jejímž základem je fakt, že (ve vztahu není rovnost!!!).

Hmotný bod při přechodu z bodu A do bodu B urazí dráhu s rovnající se délce oblouku AB. Pro velikost délky oblouku s platí: .

Tento vztah je podobný vztahu pro obvod kružnice . je ten úhel, který musíme po kružnici opsat, abychom ji oběhli celou, a r je její poloměr. Zajímá-li nás jen část obvodu kružnice, nebude ve vztahu vystupovat plný úhel , ale jen jeho část - např. .

Úhlová rychlost se definuje jako podíl velikosti úhlu , který opíše polohový vektor za dobu , a této doby: . Jednotkou úhlové rychlosti je radián za sekundu: .

Při výpočtech se dosazuje „jen“ .

Úhlová rychlost je vektorová fyzikální veličina. Její vektor je kolmý k rovině kružnice, po níž obíhá hmotný bod rychlostí , a umísťujeme ho do středu kružnice. Jeho směr určíme podle pravidla pravé ruky: Položíme-li prsty ke kružnici tak, aby prsty ukazovaly směr vektoru rychlosti , pak vztyčený palec ukazuje směr vektoru úhlové rychlosti . Při rovnoměrném pohybu po kružnici se zachovává velikost i směr úhlové rychlosti . Dále v tomto textu budeme hovořit vždy jen o velikosti úhlové rychlosti .

Obr. 35

Je-li jedná se o rovnoměrný pohyb po kružnici:

Hmotný bod koná rovnoměrný pohyb po kružnici, jestliže ve stejných a libovolně malých časových intervalech opíše jeho průvodič stejné úhlové dráhy .

Rovnoměrný pohyb po kružnici je pohyb periodický. Plný úhel opíše hmotný bod vždy za stejnou dobu - oběžnou dobu (periodu) T.

Perioda je doba, za kterou hmotný bod pohybující se po kružnici, vykoná právě jednu otáčku.

Dosadíme-li periodu do vztahu pro definici úhlové rychlosti, dostaneme . Místo periody můžeme pohyb po kružnici charakterizovat frekvencí f.

Frekvence u pohybu hmotného bodu po kružnici udává počet otáček za jednotku času (většinou za sekundu).

Mezi frekvencí f a periodou T platí vztah . Jednotkou frekvence je . Lze též použít jednotku hertz, přičemž platí: . Úhlovou rychlost lze také vyjádřit pomocí frekvence f: .

Velikost rychlosti lze určit pomocí vztahu . Velikost rychlosti je tedy přímo úměrná poloměru kružnice. Největší rychlostí se pohybují body na obvodu kola, nejmenší (nulovou) pak body na ose otáčení. Jedná-li se o rovnoměrný pohyb po kružnici, je velikost rychlosti v dané vzdálenosti od osy otáčení stále stejná (konstantní). Vektor rychlosti má v každém bodě kruhové trajektorie směr tečně ke kružnici v daném bodě.

Experimentální ověření faktu, že body vzdálenější od osy rotace se pohybují rychlostí o větší velikosti, lze provést pomocí deštníku s pestrým vzorem. Otevřete deštník, roztočte jej kolem osy, která je totožná s holí deštníku, a pozorujte vzor. V blízkosti osy otáčení vzor relativně dobře rozeznáte, zatímco na obvodu bude vzor nerozeznatelný díky velké rychlosti. Přitom všechny body na deštníku mají stejnou úhlovou rychlost!

Vzhledem k tomu, že nás bude zajímat většinou rychlost na obvodu kola, disku, … říká se této rychlosti obvodová rychlost.

Při rovnoměrném pohybu po kružnici se tedy nemění velikost rychlosti hmotného bodu, ale mění se její směr. Z toho vyplývá, že tečné zrychlení hmotného bodu při pohybu po kružnici je nulové, zatímco normálové zrychlení nulové není (mění se směr rychlosti).

Změna vektoru rychlosti je (viz obr. 37). Vektory a svírají úhel , který svírá průvodič v bodě A a v bodě B.

Vektor rychlosti je kolmý na průvodič. Svírají-li tedy průvodiče dvou bodů na kružnici určitý úhel, musí tentýž úhel svírat i vektory rychlosti sestrojené v uvažovaných bodech.

Je-li úhel malý (tj. pokud je možné nahradit oblouk úsečkou), lze na základě podobnosti trojúhelníků psát: , tedy .

Velikost zrychlení pak určíme ze vztahu . Pro malý úhel je změna rychlosti kolmá k rychlosti . Zrychlení má směr změny rychlosti, je tedy také kolmé k okamžité rychlosti. U rovnoměrného pohybu po kružnici je tedy celkové zrychlení shodné s normálovým (dostředivým) zrychlením.

Obr. 36	Obr. 37

Je dobré si namalovat vlastní obrázek a zkusit si narýsovat vektor . Splníte-li podmínky popsané při odvozování (hlavně malý úhel ), měl by mířit vektor (přibližně) do středu kružnice. Splnění podmínek lze dosáhnout tak, že zvolíte kružnici s relativně velkým poloměrem a body, v nichž budete konstruovat vektory okamžité rychlosti, zvolíte blízko u sebe. Čím blíže, tím spíše bude vektor mířit do středu kružnice.