Kulový kondenzátor

Kulový kondenzátor, který je schematicky zobrazen na obr. 20, je tvořen dvěma vodivými elektrodami ve tvaru soustředných kulových ploch o poloměrech   a  (kde ). Prostor mezi oběma elektrodami je vyplněn dielektrikem s relativní permitivitou .

Obr. 20

Připojíme-li kondenzátor ke zdroji napětí, vznikne v dielektriku elektrostatické pole, které bude připomínat centrální elektrostatické pole (viz schematicky obr. 19).

Velikost elektrické intenzity v prostředí mezi oběma elektrodami lze popsat vztahem , kde S je plocha, kterou siločáry elektrostatického pole přecházejí z jedné nabité elektrody na druhou (jedná se o tzv. Gaussovu plochu s poloměrem r ležícím v intervalu ). Pro tuto plochu platí vztah .

Vzhledem k tomu, že velikost elektrické intenzity, kterou lze psát ve tvaru , není konstantní, musíme pro výpočet elektrického napětí mezi oběma elektrodami kondenzátoru použít vztah využívající integrální počet: .

Dosadíme-li za velikost elektrické intenzity, získáme vztah , který lze postupně integrovat: .

Dosazením do definičního vztahu pro kapacitu kondenzátoru ve tvaru  získáme vztah ve tvaru: .

Odtud pro kapacitu kulového kondenzátoru dostáváme výsledný vztah ve tvaru

.

(2)

Pokud bychom chtěli vypočítat kapacitu vodivé koule o poloměru R, která se nachází v prostředí s relativní permitivitou , stačí si uvědomit, že můžeme použít odvozený vztah (2) za předpokladu, že vnější deska má extrémně velký poloměr, tj. . Vztah (2) v tom případě můžeme psát ve tvaru . Uvědomíme-li si, že za podmínky  je výraz  téměř nulový, dostáváme hledaný vztah ve tvaru

.

(3)

Přesné odvození vztahu (3) by bylo možné provést na základě vlastností limity v nevlastním bodě a získali bychom stejný výsledek.

Stejný vztah popisuje i kapacitu osamoceného kulového vodiče.