Matematické kyvadlo

Nejjednodušším modelem kyvadla je matematické kyvadlo, u něhož provedeme jistá zanedbání a omezení:

1. omezíme se na malé výchylky, abychom mohli oblouk, po němž se těleso pohybuje, považovat za úsečku, což je dostatečně přesně splněno pro úhlovou výchylku zhruba do

Toto zjednodušení vychází z vlastností goniometrických funkcí. Pro malé úhly totiž platí: .

Je jednoduché si ověřit, že to pro úhly menší jak skutečně platí. Na kalkulačce převeďte úhel do obloukové míry (vyjádřete ho v radiánech) a najděte jeho sinus. Obě čísla (jak úhel, tak jeho sinus) budou téměř stejná.

2. zanedbáme tření v bodě závěsu i odporovou sílu vzduchu

Příčinou kmitavého pohybu je pohybová složka tíhové síly . Síla vzniká při vychýlení kyvadla z rovnovážné polohy. Podle obr. 13 platí: , kde y je délka oblouku opsaného hmotným bodem tvořícím matematické kyvadlo. Odtud dále dostáváme: .

Znaménko mínus vyjadřuje fakt, že síla (stejně jako u tělesa zavěšeného na pružině) je orientovaná opačně než výchylka. Síla totiž působí vždy směrem do rovnovážné polohy, zatímco výchylka se měří od rovnovážné polohy.

Obr. 13

Srovnáme-li tento vztah s pohybovou rovnicí harmonického kmitání, dostáváme . Odtud získáme pro úhlovou frekvenci vztah . Vlastní kmitání matematického kyvadla je tedy popsáno úhlovou frekvencí . Odtud již velice snadno odvodíme vztahy pro periodu a frekvenci vlastního kmitání matematického kyvadla: a .

Rovina kyvu kyvadla se během jeho pohybu zachovává, což lze ověřit např. Foucaultovým kyvadlem. To je tvořeno dostatečně dlouhým závěsem s těžkým závažím, který se nechá kývat delší dobu. Na počátku kývání se určí rovina, v níž kyvadlo kýve (vzhledem k okolí) a po určité době se zjistí, že rovina kyvu se od původního směru odchýlila, protože kyvadlo se kýve stále v téže rovině a Země se „pod ním podtáčí“.

Dlouhý závěs a velká hmotnost závaží jsou nutné pro výhodný poměr velikostí tíhové a odporové síly vzduchu. V praxi totiž odporová síla na tělesa působí a proto je nutné její velikost vůči velikosti jiné síly (v tomto případě tíhové) potlačit.