Odvození vztahu

Předpokládejme, že v okamžiku , v němž souřadnicové osy obou vztažných soustav  a S splývají, je částice A v jejich společném počátku (viz obr. 23). Za dobu  se částice dostane rovnoměrným pohybem do bodu B a urazí přitom vzhledem k soustavě  dráhu , vzhledem k soustavě S dráhu x. Průchod částice bodem B je událost, která má v soustavě  souřadnice  a  a v soustavě S souřadnice x a t. Částice A má tedy vzhledem k soustavě  rychlost o velikosti  (pohybuje se rovnoměrně přímočaře) a vzhledem k soustavě S velikost rychlosti . Tuto velikost rychlosti je možné pomocí Lorentzovy transformace vyjádřit ve tvaru: .

Obr. 23

Při odvozování jsme předpokládali, že vektory  a  mají stejný směr. Bude-li vektor  orientován opačně vzhledem k vektoru , lze výslednou velikost rychlosti vzhledem k soustavě S psát ve tvaru: .

Změní-li se vektor  na opačný, je nutné jeho velikost (tj. velikost rychlosti v) od velikosti vektoru  odčítat. To ostatně vyplývá i z klasické mechaniky.

Analogickou úvahou lze odvodit i inverzní vztah, tj. vyjádřit pomocí rychlosti tělesa vzhledem k soustavě S velikost rychlosti vzhledem k soustavě .

Zaměníme „čárkované“ a „nečárkované“ veličiny a změníme znaménko u velikosti rychlosti v. Na celou situaci nyní pohlížíme tak, že se pohybuje soustava S vůči soustavě  opačným směrem.

Proto dostáváme vztahy:  resp. .

Vztah pro relativistické skládání lze odvodit také na základě skládání dvou Lorentzových transformací Např. Lorentzovu transformace pro soustavy nádraží - vlak a vlak - průvodčí lze složit do transformace nádraží - průvodčí, tj. určit souřadnici pohybu průvodčího vůči nádraží. Při tomto odvozování vztah pro relativistické skládání rychlostí dostaneme jako logický důsledek výpočtu.