Základní postuláty kvantové mechaniky

Kvantovou mechaniku je možné vybudovat na základě těchto základních postulátů:

1. Každý stav fyzikálního systému je možné popsat tzv. vlnovou funkcí.

2. Každé pozorované veličině je přiřazen její lineární operátor.

Operátor je vlastně jakási operace, která dává návod, jak příslušnou veličinu v kvantové fyzice určit.

3. Jediné možné hodnoty, které lze naměřit při měření pozorovatelné veličiny D jsou její charakteristické hodnoty (vlastní hodnoty), které získáme řešením charakteristické rovnice operátoru  přiřazeného měřené veličině D.

Charakteristické hodnoty (vlastní hodnoty) při házení mincí jsou panna nebo orel; charakteristické hodnoty při házení krychlovou symetrickou (tj. neošvindlovanou) kostkou jsou hodnoty 1, 2, 3, 4, 5 a 6; hodnoty připadající v úvahu při měření délky desky stolu jsou hodnoty z určitého intervalu daného přesností měření; …

4. Jestliže je systém ve stavu popsaném vlnovou funkcí , je kvantová střední hodnota pozorovatelné veličiny D při jistém sledu měření rovna .

Jinými slovy: Změřením fyzikální veličiny D, které je přeřazen operátor , s výsledkem souboru vlastních čísel veličiny D, převedeme systém do stavu, který je popsán vlastní funkcí (vlastním vektorem) naměřené hodnoty rovné vlastním číslům veličiny D.

5. Operátor časové změny má tvar .

Jinými slovy: Vývoj stavu daného systému v čase je popsán Schrödingerovou rovnicí.

Nyní se pokusíme jednotlivé postuláty okomentovat.

První postulát je plně vysvětlen vlnovou funkcí.

Druhý postulát hovoří o operátorech. Pro dva operátory  a  aplikované na funkci  mohou nastat dva případy:

1.  - o takových dvojicích operátorů říkáme, že nejsou komutativní (operátory nekomutují)

2.  - o takových operátorech říkáme, že jsou komutativní (operátory komutují).

Operátory se obecně značí „písmenkem se stříškou“ (např. , , , …). Operátor je „něco“ co můžeme aplikovat na nějakou funkci. Příkladem mohou být operátory:  a  (absolutní hodnota). Pokud nyní vytvoříme operátor  resp. , který aplikujeme na funkci , dostaneme:  resp. . Tyto operátory tedy nekomutují.

Na základě druhého postulátu je možné vytvořit návod, jak veličinu z klasické fyziky převést do fyziky kvantové:

1. uvažovanou veličinu vyjádříme pomocí souřadnice polohy x a pomocí hybnosti ;

2. tyto veličiny nahradíme jejich operátory.

Přitom ale je třeba vzít v úvahu komutativnost (resp. nekomutativnost) uvažovaných operátorů.

Poloha a hybnost se vybírají proto, že v klasické mechanice to jsou právě poloha a rychlost, které udávají charakter pohybu a je z nich možné určit další charakteristiky pohybu (dráhu, působící sílu, …).

Známe-li rychlost dané částice, známe (na základě znalosti její hmotnosti ) i hybnost. Samotná rychlost by nepostačovala - je nutné vzít v úvahu i hybnost (právě kvůli hmotnosti).

V kvantové fyzice tyto dvě veličiny ale nekomutují, tj. nelze naměřit obě dvě současně a dostatečně přesně (ve shodě s Heisenbergovými relacemi neurčitosti).

Uvedeným způsobem je celkové energii dané soustavy přiřazen operátor , který se nazývá Hamiltonův operátor nebo zkráceně hamiltonián.

Třetí postulát hovoří o nalezení vlastních hodnot , které můžeme při měření dané veličiny reprezentované operátorem  naměřit. Je možné je nalézt řešením charakteristické rovnice .

V tomto zápisu by se mohlo zdát, že je možné rovnici vydělit funkcí f a výrazně si uvedenou rovnici zjednodušit. To ale není možné, neboť výraz  představuje aplikaci určitého operátoru na funkci (např. , , …).

Vlastních hodnot dané veličiny může být více a v závislosti na příslušné veličině dostáváme buď spojité nebo diskrétní spektrum (množinu) vlastních hodnot.

Většinou se ale postupuje obráceně, tj. na základě vlastních hodnot se hledá příslušná funkce f.

Vlastní hodnota může být:

1. degenerovaná - k dané vlastní hodnotě existuje více vlastních funkcí f;

2. nedegenerovaná - k dané vlastní hodnotě existuje jedna jediná funkce f.

Pro vlastní hodnoty energie se řeší Schrödingerova rovnice ve tvaru .

Čtvrtý postulát umožňuje vypočítat střední hodnotu měřené veličiny D. Vzhledem k tomu, že během měření získáme velké množství vlastních hodnot (měříme na systému mnoha částic), je třeba ze získaných vlastních hodnot vypočítat střední hodnotu. V rámci klasické fyziky je možné střední (průměrnou) hodnotu  měřené veličiny D určit takto: , kde  jsou vlastní hodnoty veličiny D naměřené během experimentu.

V rámci kvantové fyziky se postupuje podle vztahu . Výraz  udává pravděpodobnost naměření dané veličiny v intervalu . Při výpočtech se snažíme o normování vlnové funkce , tak aby , tzn. že uvedený integrál skutečně odpovídá pravděpodobnosti.

Integrál vlastně nahrazuje součet nekonečně velkého počtu sčítanců.

Vypočtená střední hodnota nemusí vůbec nic vypovídat o naměřených hodnotách.

Např. při házení mincí jsou dvě možné vlastní hodnoty: panna a orel a přesto střední hodnota neexistuje.

Stav odpovídající vlnové funkci  se většinou označuje symbolem  (tento symbol pochází z Diracovy „ket-bra notace“ a nazývá se vektor ket). Někdy se též vyznačuje v jaké reprezentaci se počítá - tj. jestli jsou veličiny vyjádřené pomocí souřadnice x (zápis ) nebo pomocí hybnosti  (zápis ).

Pátý postulát kvantové mechaniky zavádí operátor časové změny ve tvaru , kde i je imaginární jednotka (pro kterou platí ) a  redukovaná Planckova konstanta. Jedná se o speciální operátor, který se aplikuje na funkci, která se mění v čase, a tím tuto časovou změnu matematicky popíšeme v rámci kvantové fyziky. Důležitý je tento operátor při řešení Schrödingerovy rovnice.