Millingtonův vzorec

Odvození Millingtonova vzorce vychází z předpokladu poklesu energie po skocích a z faktu, že předměty mají různé koeficienty pohltivosti  a při každém odrazu se pohltí jiná relativní část energie.

Uvažujme tedy k různých povrchů s koeficienty pohltivosti .

Obdobným postupem jako při odvozování Eyringova vzorce dostáváme pro intenzitu zvuku po odrazu od prvního předmětu , kde I je počáteční intenzita zvuku. Po odrazu od dvou předmětů pak dostáváme , … Jestliže nastává odraz zvuku opakovaně na všech površích, tj.  odrazů od povrchu s koeficientem pohltivosti , k  odrazů od povrchu s koeficientem pohltivosti , …, pak výslednou intenzitu po všech těchto odrazech je možné psát ve tvaru: . Přitom pro celkový počet odrazů N platí: . Platí také , odkud , kde  je obsah i-té plochy a S celková plocha, která přispěla ke všem N odrazům.

Na základě vztahů  a  vysvětlených při odvozování Eyringova vzorce dostaneme . Na základě tohoto vztahu a vztahu  je možné vyjádřit . Pro výslednou intenzitu po N odrazech je tedy možné psát: .

Pomocí úvahy vyžadující Sabineho definici standardní doby dozvuku a započtení poklesu intenzity za dobu dozvuku krát, lze poslední vztah upravit takto: , který lze dále s využitím vlastností logaritmické funkce přepsat do tvaru: . Získali jsme tedy vztah: , odkud lze vyjádřit standardní dobu dozvuku T ve tvaru:  .

Tento Millingtonův vzorec je nejpřesnější, ale dlouhou dobu se nepoužíval. Chyběla totiž výpočetní technika, která by dokázala výpočty usnadnit. V místnosti totiž mohou být řádově i desítky ploch různé velikosti a s různými koeficienty pohltivosti.

Symbolem  se rozumí součin , symbolem  se rozumí součet .