Pohyb hmotného objektu v poli centrální cíly

Jak bylo ukázáno, pohyb hmotného bodu v poli centrální síly je pohyb rovinný. To znamená, že pohyb hmotného bodu (resp. hmotného objektu) o hmotnosti m v tomto poli můžeme popsat pomocí polárních souřadnic r a . Lagrangián tedy lze psát ve tvaru (79), tj. . Lagrangeova funkce ovšem nezávisí na souřadnici  - tj.  je cyklická souřadnice. Můžeme tedy psát první integrál pohybu ve tvaru

,

(82)

kde l je moment hybnosti. Vztah (82) tedy vyjadřuje zákon zachování momentu hybnosti.

Lagrangián (79) nezávisí ovšem přímo ani na čase, a proto můžeme psát zobecněnou energii h pro pohyb hmotného objektu v poli centrální síly ve tvaru

,

(83)

neboť se nacházíme v poli konzervativních sil. Ze vztahu (82) můžeme vyjádřit

,

(84)

čímž jsme získali vyjádření časové změny úhlu v závislosti na vzdálenosti od centrálního tělesa a na hmotnosti uvažovaného hmotného objektu.

Získali jsme tedy velikost úhlové rychlosti pohybu daného objektu, tj. velikost rychlosti, s níž se tento objekt pohybuje kolem centrálního tělesa. V této rychlosti není zahrnut radiální pohyb (tj. přibližování nebo oddalování od centrálního tělesa)!

Dosazením vztahu (84) do rovnice (83) získáme rovnici , odkud můžeme vyjádřit  ve tvaru , který lze upravit na tvar

.

(85)

S tímto vztahem nyní budeme pracovat dále, neboť naším cílem je popsat pohyb, tj. nalézt závislost souřadnice r (resp. ) na čase. Proto vztah (85) odmocníme a přepíšeme do tvaru vhodného pro další výpočet . Pomocí separace proměnných bychom získali rovnici , kterou by bylo možné řešit integrací a získali bychom  a tedy . Výpočet funkce  je ovšem technicky velmi zdlouhavý. Proto je lepší nevyšetřovat závislosti  (resp. ), ale najít rovnou tvar trajektorie, tj. hledat závislost .

Pro snadnější výpočet zavedeme funkci u proměnné  předpisem

.

(86)

Potom můžeme psát . Po dosazení ze vztahu (84) dostaneme  a dosadíme do (85). S využitím (86) tedy získáme  a odtud již snadnou úpravou získáme

.

(87)

Derivací obou stran rovnice (87) podle proměnné  získáme . Bez újmy na obecnosti lze tuto rovnici vydělit výrazem , čímž získáme vztah

,

(88)

což je tzv. Binetův vzorec pro trajektorie pohybujících se objektů v poli centrální síly.

S využitím dvou „triků“ (substituce (86) a derivace rovnice (87)) jsme získali důležitý vztah (88), který má význam nejen v (teoretické) mechanice, ale také např. i v atomové fyzice (tzv. Rutherfordův rozptyl).