Problém tří těles

Problém tří těles, která na sebe navzájem silově působí, je analyticky neřešitelný. Přitom z hlediska matematiky a teorie diferenciálních rovnic je řešení příslušných rovnic zaručeno a je jednoznačné. Příčiny nemožnosti nalezení analytického řešení spočívají zejména:

1.     ve složitosti řešení - pro daný systém rovnic není k dispozici dostatečný počet integrálů pohybu, které by řešení zjednodušily;

2.     ve velmi citlivé závislosti na počátečních podmínkách - to vede ke vzniku chaotického chování systému. Toto chování je sice předvídatelné, ale po relativně krátkém čase učiněné předpovědi neodpovídají chování systému - v systému vzniká deterministický chaos.

Citlivá závislost na počátečních podmínkách provází řadu vědních oborů - meteorologii, jadernou fyziku (neexistence termojaderných elektráren vyplývá právě z chaotického chování termojaderné reakce, což je pro stavbu elektrárny nepřijatelné), …

Obr. 50

Na obr. 50 je zobrazena počítačová simulace průběhu potenciální energie pro tři pohybující se objekty. V bodech  a  jsou umístěna dvě ze tří těles, která mají ve srovnání s třetím tělesem větší hmotnost, a třetí se pohybuje v poli, jehož potenciální energie je zobrazena na obrázku.

Může to tedy být případ např. soustavy Země - Měsíc, v níž obíhá družice.

Obrázek je nutno chápat trojrozměrně, neboť pohyb tří těles již není omezen na rovinu. V bodě B je tzv. sedlový bod a v bodech  a má potenciální energie minimum.

To znamená, že pokud půjdeme z bodu B ve směru kladné části osy y, půjdeme do kopce, v opačném směru půjdeme také do kopce. Půjdeme-li ovšem směrem k bodu  nebo , půjdeme z kopce.

V bodech A, C, D a E jsou tzv. librační body, tj. body, v nichž jsou navzájem vykompenzovány gravitační síly a odstředivé síly. Pro správnou představu popisovaného pohybu je nutné si uvědomit, že soustava zobrazená na obr. 50 rotuje kolem počátku soustavy souřadnic, což znamená, že třetí těleso (těleso s nejmenší hmotností) se pohybuje v neinerciální soustavě. V této soustavě na toto těleso působí setrvačné síly (odstředivá síla, Coriolisova síla) a přesto poloha libračních bodů je stabilní.