Izotropie prostoru

Izotropie prostoru je svázána s invariancí popisu daného systému vůči rotaci v prostoru.

Uděláme stojku, nakloníme se, otočíme se, … a budeme pořád dostávat stejný popis systému, jako když jsme systém popisovali před změnami naší polohy.

To tedy znamená, že lagrangián se nemění při posunutí v libovolném úhlovém směru . Vztahy (160) tedy přejdou na tvar

a ,

(164)

což znamená, že ,  a ostatní  jsou nulová. Po dosazení do (161) tedy dostaneme

.

(165)

Vztah (165) je vyjádřením zákona zachování momentu hybnosti, který je důsledkem izotropie prostoru.

Příklad: Centrální pole
Lagrangeova funkce hmotného bodu, který se pohybuje v centrálním poli, je . Lagrangián přitom není závislý na úhlu otočení  - to znamená, že při změně  se lagrangián nezmění.

Jestliže lagrangián nezávisí na nějaké zobecněné souřadnici (zde ), pak se tato zobecněná souřadnice nazývá cyklická souřadnice. Skutečnost, že  je cyklická souřadnice, vyplývá tedy z izotropie prostoru.

Jinými slovy:  je dobře zvolená zobecněná souřadnice.