Hamiltonovy rovnice

Hamiltonovy rovnice jsou dalším zobecněním Lagrangeových rovnic 2. druhu. Hamiltonovy rovnice ovšem mají oproti Lagrangeovým rovnicím výhodu. Zatímco Lagrangeovy rovnice jsou soustavou n obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu pro n neznámých (neznámými jsou časové průběhy zobecněných souřadnic  pro , kde n je počet stupňů volnosti dané soustavy), jsou Hamiltonovy rovnice soustavou 2n obyčejných diferenciálních rovnic pouze prvního řádu pro 2n neznámých. Neznámými v Hamiltonových rovnicích jsou zobecněné souřadnice  a kanonické hybnosti pro .

Hamiltonových rovnic je sice více než Lagrangeových, ale jsou to rovnice prvního řádu, což je větší úspora práce při jejich řešení, než fakt, že neznámých je dvojnásobné množství.

Skutečnost, že indexy zobecněných souřadnic jsou horní indexy a indexy kanonických hybností jsou dolní indexy, vyplývá z toho, že zobecněné souřadnice  jsou složky vektorů, zatímco kanonické hybnosti  jsou složky forem. Při běžném počítání se tento rozdíl neprojeví, ale pro geometrickou interpretaci je to rozdíl podstatný.

Před vlastním odvozením Hamiltonových rovnice je nutné se seznámit s několika základními pojmy:

1.     kanonická hybnost;

2.     fázový prostor;

3.     Hamiltonova funkce (hamiltonián).