Popis pohybu částice v cylindrických souřadnicích

Lagrangeova funkce popisující pohyb částice v kartézských souřadnicích je dána vztahem (179). Do cylindrických souřadnic jí přepíšeme pomocí následujících transformačních vztahů:

;

;

.

Tyto souřadnice závisí na čase. Vzhledem k tomu, že v dalším výpočtu budeme potřebovat jejich časové derivace, určíme je:

;

;

Nyní dosadíme do lagrangiánu (179), zjednodušíme a dostaneme

.

(183)

Kanonické hybnosti odpovídající souřadnicím R,  a z získáme derivací Lagrangeovy funkce podle zobecněné rychlosti příslušející dané souřadnici. Takže postupně dostáváme

,  a .

(184)

Z předpisu pro kanonické hybností můžeme vyjádřit příslušné zobecněné rychlosti a získáme

,  a .

(185)

Hamiltonovu funkci nyní můžeme psát ve tvaru . Po dosazení ze vztahů (183), (184) a (185) pro Hamiltonovu funkci pohybující se částice postupně dostaneme . Takže hamiltonián je roven

(186)

a je nezávislý na čase. Proto tedy platí .

Další výpočet pomocí Hamiltonových rovnic není možný, protože neznáme konkrétní průběh potenciální energie .