Hamiltonova - Jacobiho rovnice

Hamiltonova - Jacobiho teorie vychází z kanonických transformací, a proto připomeneme důležité vztahy, s nimiž budeme dále pracovat. Vyjdeme např. z generující funkce  (viz tab. 1) a z platnosti těchto vztahů:

,

(215)

,

(216)

,

(217)

a z Hamiltonových kanonických rovnic ve tvaru

a .

(218)

Na vývoj systému, který chceme popsat, můžeme nahlížet jako na speciální kanonickou transformaci. A ze všech možných kanonických transformací budeme hledat tu nejjednodušší - takovou, pro níž platí

.

(219)

Je to podmínka sice velmi přísná, nicméně lze takový vývoj systému najít.

Na základě podmínky (219) budeme nyní hledat speciální generující funkci S, která generuje příslušnou kanonickou transformaci. Pro tuto funkci, která se nazývá akční funkcionál, platí

.

(220)

S využitím podmínky (219) lze psát Hamiltonovy kanonické rovnice (218) ve tvaru

a .

(221)

Z těchto rovnic okamžitě plyne

a

(222)

Důvod, proč jsme druhou konstantu volili se znaménkem mínus, bude zřejmý z dalších výpočtů.

Písmeny  a  jsme označili konstanty, čísla. Proto píšeme jejich indexy dolů.

To ovšem znamená, že hmotný bod, jehož pohyb sledujeme, by stál na místě. Zatím jsme totiž nevzali v úvahu další vztahy. S využitím vztahů (220), (216) a (222) můžeme psát  a odtud najdeme funkci  inverzí. Funkci S budeme hledat na základě rovnice

,

(223)

kterou jsme získali na základě rovnice (217), podmínky (219) a definice funkce S (220).

Abychom našli skutečně kanonickou transformaci a postup výpočtu byl konzistentní, musíme použít i vztah (215). To znamená, že platí (s využitím definice funkce S (220)):

.

(224)

To znamená, že zobecněné souřadnice  a kanonické hybnosti  nejsou nezávislé.

Dosazením vztahu (224) do rovnice (223) získáme Hamiltonovu - Jacobiho rovnici ve tvaru

.

(225)

Získali jsme tak skutečně jednu jedinou rovnici, která popisuje vývoj daného fyzikálního systému.