Postup řešení Hamiltonovy - Jacobiho rovnice

Postup řešení Hamiltonovy - Jacobiho rovnice (225) lze popsat v několika základních krocích:

1.     určíme Hamiltonovu funkci daného fyzikálního systému: ;

2.     sestavíme Hamiltonovu - Jacobiho rovnici (225) tak, že místo  v nalezeném hamiltoniánu píšeme ;

Sestavili jsme tak jedinou parciální diferenciální rovnici prvního řádu, v níž vystupují parciální derivace  a . Neznámou v této rovnici je funkce  resp. , která popisuje vývoj daného fyzikálního systému.

3.     sestavenou rovnici vyřešíme pomocí několika postupů, které lze z fyzikálního hlediska bez problémů provést

a)     je-li hamiltonián nezávislý na čase, pak má funkce S tvar , kde E je zobecněná energie;

b)    nezávisí-li hamiltonián na souřadnici , má funkce S tvar , kde ;

Nejdříve je tedy nutné vyřešit čas, pak až souřadnice. Souřadnice , na níž nezávisí hamiltonián (a tedy ani lagrangián) daného systému je cyklická souřadnice.

c)     pokusit se řešit rovnici, kterou jsme předchozími úpravami získali z rovnice (225), separací proměnných, čímž získáme řešení ve tvaru: ;

4.     získali jsme tedy funkci S ve tvaru , která obsahuje  integračních konstant , z nichž jedna je ovšem triviálně aditivní;

Konstant  je , neboť n jich vznikne při integraci během hledání funkcí  a jedna vznikne při integraci podle času.

Triviálně aditivní je taková konstanta C, která vystupuje v zápise funkce  ve tvaru: , tj. není „zabalená“ uvnitř funkce.

5.     derivací podle n netriviálních parametrů  získáme n rovnic typu , kde  je dalších n libovolných konstant (pro );

6.     inverzí získáme hledané řešení úlohy ve tvaru , v němž je 2n integračních konstant, které odpovídají n počátečním podmínkám pro zobecněné souřadnice  a n počátečním podmínkám pro kanonické hybnosti .

Počet konstant odpovídajících počtu počátečních podmínek je v pořádku. Každá poloha a každá hybnost má svoji počáteční podmínku.

Příklad: Volný pád
Vyšetřete pohyb volného pádu tělesa o hmotnosti m v gravitačním poli.

Řešit volný pád pomocí Hamiltonovy - Jacobiho rovnice je trošku jako jít s kanónem na vrabce, ale volný pád je nejjednodušší pohyb, na kterém lze řešení Hamiltonovy - Jacobiho rovnice ukázat. A jak je dále vidět, tak i přesto bude řešení poměrně náročné …

Řešení: Budeme postupovat přesně ve shodě s výše uvedeným návodem na řešení Hamiltonovy - Jacobiho rovnice:
Hamiltonián systému je:  (vzdálenost x měříme ve směru pádu tělesa).
Nyní vyjádříme hybnost pomocí funkce S ve tvaru , dosadíme do hamiltoniánu:  a sestavíme Hamiltonovu - Jacobiho rovnici: .
Pokud závisí funkce S na čase a hamiltonián sám na čase přímo nezávisí (obě podmínky jsou zde splněny), můžeme psát .
Určíme parciální časovou derivaci funkce S, která vystupuje v Hamiltonově - Jacobiho rovnici: , neboť  je na čase nezávislá.
Nyní tedy budeme řešit Hamiltonovu - Jacobiho rovnici ve tvaru . Vyjádříme hledanou derivaci funkce  tak, že převedeme ostatní proměnné na druhou stranu rovnice, čímž získáme rovnici . Tu nyní odmocníme a dostaneme . Funkci  nyní nalezneme integrací podle proměnné x: .
Zavedeme substituci  a vyjádříme , odkud dostaneme . Nyní můžeme pokračovat ve vlastní integraci:
. Konstanta C zde přitom nehraje roli, neboť jí lze zahrnout do konstanty E. Pro funkci S tedy dostáváme .
Dále pokračujeme ve výpočtu derivací funkce S podle parametru E. Získáme tedy rovnost , přičemž konstanta  má význam konstanty  z návodu na řešení Hamiltonovy - Jacobiho rovnice.
Z posledního vztahu nyní postupně vyjádříme x.




Pro funkci x v závislosti na čase t tedy dostáváme . Právě vypočtená závislost je z fyzikálního hlediska v pořádku, neboť skutečně popisuje volný pád tělesa o hmotnosti m. Konstanta  má význam výšky.