Encyklopedie fyziky |
Encyklopedie fyziky |
NASTAVENÍ TISKU (tato tabulka nebude vytištěna) | Zpět k článku | Vytiskni! | |
Komentáře [8x] - Zobrazit | Nadstandardní komentář [3x] - Skrýt | Definice [0x] |
Bezsilový setrvačník je špatný název pro bezmomentový rotačně symetrický setrvačník, který může sloužit např. jako model gyroskopu uloženého v tzv. Cardanově závěsu. Dalším velmi dobrým modelem tohoto typu setrvačníku je Země.
Tento setrvačník je charakterizován nulovým momentem sil (tj. ) a rotační symetrií, ze které pro momenty setrvačnosti vzhledem k hlavním osám vyplývá . Takový setrvačník si lze představit podobně jako těleso na obr. 69.
Eulerovy dynamické rovnice (290) se tedy zjednoduší na tvar
(291) |
Z poslední z Eulerových rovnic (291) dostáváme a tuto konstantu označíme , takže máme
(292) |
Obr. 69 |
Z první z rovnic (291) můžeme vyjádřit a ze druhé . Označíme-li
, | (293) |
můžeme psát
a . | (294) |
Derivujeme-li nyní první z rovnic (294) podle času, dostaneme a po dosazení ze druhé dostaneme rovnici neboli
, | (295) |
což je rovnice popisující pohyb harmonického oscilátoru. Proto můžeme její řešení psát ve tvaru
, | (296) |
kde A je amplituda kmitání harmonického pohybu a je počáteční fáze kmitání harmonického oscilátoru. Z hlediska řešení soustavy rovnic (291) to jsou integrační konstanty. Po úpravě první z rovnic (294) a následném dosazení řešení (296) získáme . Dostáváme tedy
. | (297) |
S využitím částečných řešení (292), (296) a (297) dostáváme pro vektor úhlové rychlosti v závislosti na čase
. | (298) |
Vektor je tedy vyjádřen v bázi hlavních os a pro jeho velikost platí . Po dosazení ze vztahu (298) tedy dostaneme
(299) |
Uvědomíme-li si platnost vztahu (292) je zřejmé, že vektor úhlové rychlosti zapsaný ve tvaru (298) opisuje plášť rotačního kužele (viz obr. 70) s úhlovou frekvencí . To znamená, že nutační úhel , který svírá vektor úhlové rychlosti s osou z, je konstantní a platí
. | (300) |
Na obr. 70 je také znázorněna kružnice, ve které protíná rotující vektor dané tuhé těleso.
Obr. 70 |
Skutečnost, že vektor opisuje plášť kužele, vyplývá z toho, že velikost tohoto vektoru je v čase konstantní, z-ová složka je konstantní a dále z toho, že x-ová a y-ová složka vektoru opisují kružnici; vztahy (296) a (297) jsou totiž parametrické rovnice kružnice vyjádřené v polárních souřadnicích.
Ještě je nutné dopočítat Eulerovy úhly , a pomocí Eulerových kinematických rovnic (257). Dosazením do těchto rovnic získáme pro náš vyšetřovaný případ soustavu rovnic
(301) |
Vzhledem k tomu, že koncový bod vektoru opisuje kružnici, je nutační úhel konstantní, tedy . Proto můžeme Eulerovy kinematické rovnice (301) psát v jednodušším tvaru:
(302) |
.Je-li totiž , pak je časová změna tohoto úhlu nulová, tj. .
Řešení soustavy rovnic (302) nalezneme postupnými kroky. Nejdříve umocníme první dvě rovnice soustavy na druhou a sečteme je. Dostaneme rovnici , po jejíž úpravě získáme tvar . Odmocněním přejde rovnice na tvar
, | (303) |
odkud vyplývá
. | (304) |
Ve vztahu (303) je na jeho pravé straně konstanta, proto je integrace podle proměnné t jednoduchá.
Vydělením prvních dvou rovnic soustavy (302) získáme rovnici , která po úpravě přejde na tvar . Dostáváme tedy rovnici
. | (305) |
Derivací rovnice (305) podle času získáme rovnici , odkud můžeme vyjádřit
. | (306) |
Ze druhé rovnice soustavy (302) můžeme vyjádřit
. | (307) |
Nyní můžeme do vztahu (306) dosadit ze vztahu (307), čímž získáme rovnici . Do jejího upraveného tvaru dosadíme ze vztahu (303) a získáme
. | (308) |
Odtud již snadno určíme
. | (309) |
Dosazením vztahů (303) a (308) do třetí rovnice soustavy (302) dostaneme . Postupnými úpravami získáme rovnici ve tvaru , a tedy můžeme psát . S využitím vztahu (293) dostáváme rovnici ve tvaru , takže máme
. | (310) |
Získali jsme tedy řešení Eulerových kinematických rovnic ve tvaru
, přičemž , a . | (311) |
Při hledání řešení soustavy rovnic (302) byly prováděny operace, které z hlediska matematiky vyžadují komentáře a diskusi jejich platnosti (při dělení není možné dělit nulou, …). Z fyzikálního hlediska ovšem hodnoty goniometrických funkcí nemohou být nulové, tj. jejich argumenty nemohou z fyzikálních důvodů mít hodnoty 0 nebo . Proto jsou všechny provedené úpravy v tomto případě korektní.
U bezmomentového setrvačníku tedy nastává tzv. regulární precese (pravidelná precese), při níž se poloha osy otáčení (tj. směr vektoru ) mění v čase pravidelně (koncový bod vektoru opisuje kružnici). V případě rotace Země je tato precese důsledkem pohybů během počátečního vývoje Sluneční soustavy, dopadem meteoroidů na Zem, … Ve skutečnosti ovšem právě popisovaná precese není takto pravidelná, neboť na Zemi působí svou gravitační silou Měsíc, působí na ní i Slunce, sama Země není dokonale symetrické těleso ani to není ideálně tuhé těleso, … Proto vznikají nepřesnosti v tomto precesním pohybu, které mají periodu 427 dní, a zemská osa tedy neprotíná Zemi v jednom bodě (severní pól), ale opisuje kolem severního pólu kružnici o poloměru asi 4 m.
Tato kružnice je analogická kružnici, která je na obr. 70 znázorněna modrou křivkou.
Právě určený směr úhlové rychlosti (tj. směr osy rotace) byl určen vzhledem k tělesu (vzhledem k Zemi, vzhledem ke korotující bázi). Určit směr vektoru vzhledem k pevné bázi (vzhledem ke stálicím, vzhledem k systému GPS, …) není jednoduché. Pro určení pohybu vektoru vzhledem k pevné bázi je nutné určit jeden vybraný směr. Tímto vybraným směrem může být např. směr vektoru momentu hybnosti . Moment hybnosti je totiž veličina, která se v izolované soustavě zachovává.
Bezmomentový setrvačník takovou izolovanou soustavou je. Ostatně ze vztahu (285) pro bezmomentový setrvačník plyne a tedy
S využitím vztahů (288), (292), (296) a (297) můžeme pro složky momentu hybnosti psát:
, a | (312) |
a pro jeho velikost dostáváme . Po dosazení ze vztahů (312) pak máme
(313) |
Vektor momentu hybnosti tedy opisuje také plášť kužele, ale obecně jiný, než opisuje vektor úhlové rychlosti . Oba ale opisují kužely se stejnou úhlovou frekvencí . Vektor momentu hybnosti přitom svírá s osou z stálý úhel , pro který platí
. | (314) |
Úhel má přitom stejnou hodnotu jako úhel z řešení (311).
Na základě nalezeného řešení (298) pro vektor úhlové rychlosti a řešení (312) pro vektor momentu hybnosti lze psát
, | (315) |
což znamená, že v každém okamžiku vektory a a osa z leží v jedné rovině.
Na vztah (315) lze nahlížet jako na parametrické vyjádření roviny, která je dána vektory a .
Z hlediska pevné báze (tj. vzhledem ke stálicím, systému GPS, …) má stálý směr v prostoru vektor momentu hybnosti a setrvačník (Země) rotuje kolem něj.
Kolem vektoru tedy rotuje osa z a kolem ní vektor úhlové rychlosti .
Situaci lze znázornit pomocí dvou kuželů, které se kolem sebe valí. Přímka, která je okamžitou dotyčnicí obou kuželů, určuje směr vektoru úhlové rychlosti . Oba kužely přitom popisují precesi vektoru úhlové rychlosti - jeden kužel znázorňuje její precesi kolem vektoru momentu hybnosti , druhý kužel pak precesi kolem osy z daného kartézského systému.
V závislosti na vzájemné hodnotě momentů setrvačnosti a uvažovaného tělesa mohou nastat dva případy:
1. - ze vztahu (314) a z toho, že funkce tangens je rostoucí, vyplývá, že a kužel spojený s momentem hybnosti se valí uvnitř kužele spojeného s osou z daného kartézského systému (viz obr. 71).
2. - ze vztahu (314) a z toho, že funkce tangens je rostoucí, vyplývá, že a kužel spojený s momentem hybnosti se valí vně kužele spojeného s osou z daného kartézského systému (viz obr. 72).
Vektory na obr. 71 a obr. 72 by měly být správně otočeny tak, aby vektor momentu hybnosti měl svislý směr. Bylo by tím lépe naznačeno, že je to právě tento vektor, jehož směr se v prostoru zachovává!
Pro nesymetrický setrvačník je řešení jeho pohybu komplikovanější. Navíc se nezachovává ani směr ani velikost úhlové rychlosti .
U symetrického se zachovává velikost vektoru úhlové rychlosti .
Obr. 71 | Obr. 72 |