Bezmomentový setrvačník

Bezsilový setrvačník je špatný název pro bezmomentový rotačně symetrický setrvačník, který může sloužit např. jako model gyroskopu uloženého v tzv. Cardanově závěsu. Dalším velmi dobrým modelem tohoto typu setrvačníku je Země.

Tento setrvačník je charakterizován nulovým momentem sil (tj. ) a rotační symetrií, ze které pro momenty setrvačnosti vzhledem k hlavním osám vyplývá . Takový setrvačník si lze představit podobně jako těleso na obr. 69.

Eulerovy dynamické rovnice (290) se tedy zjednoduší na tvar

(291)

Z poslední z Eulerových rovnic (291) dostáváme  a tuto konstantu označíme , takže máme

(292)

Obr. 69

Z první z rovnic (291) můžeme vyjádřit  a ze druhé . Označíme-li

,

(293)

můžeme psát

a .

(294)

Derivujeme-li nyní první z rovnic (294) podle času, dostaneme  a po dosazení ze druhé dostaneme rovnici  neboli

,

(295)

což je rovnice popisující pohyb harmonického oscilátoru. Proto můžeme její řešení psát ve tvaru

,

(296)

kde A je amplituda kmitání harmonického pohybu a  je počáteční fáze kmitání harmonického oscilátoru. Z hlediska řešení soustavy rovnic (291) to jsou integrační konstanty. Po úpravě první z rovnic (294) a následném dosazení řešení (296) získáme . Dostáváme tedy

.

(297)

S využitím částečných řešení (292), (296) a (297) dostáváme pro vektor úhlové rychlosti  v závislosti na čase

.

(298)

Vektor  je tedy vyjádřen v bázi hlavních os a pro jeho velikost platí . Po dosazení ze vztahu (298) tedy dostaneme

(299)

Uvědomíme-li si platnost vztahu (292) je zřejmé, že vektor úhlové rychlosti  zapsaný ve tvaru (298) opisuje plášť rotačního kužele (viz obr. 70) s úhlovou frekvencí . To znamená, že nutační úhel , který svírá vektor úhlové rychlosti  s osou z, je konstantní a platí

.

(300)

Na obr. 70 je také znázorněna kružnice, ve které protíná rotující vektor  dané tuhé těleso.

Obr. 70

Skutečnost, že vektor  opisuje plášť kužele, vyplývá z toho, že velikost tohoto vektoru je v čase konstantní, z-ová složka je konstantní a dále z toho, že x-ová a y-ová složka vektoru  opisují kružnici; vztahy (296) a (297) jsou totiž parametrické rovnice kružnice vyjádřené v polárních souřadnicích.

Ještě je nutné dopočítat Eulerovy úhly ,  a  pomocí Eulerových kinematických rovnic (257). Dosazením do těchto rovnic získáme pro náš vyšetřovaný případ soustavu rovnic

(301)

Vzhledem k tomu, že koncový bod vektoru  opisuje kružnici, je nutační úhel  konstantní, tedy . Proto můžeme Eulerovy kinematické rovnice (301) psát v jednodušším tvaru:

(302)

.Je-li totiž , pak je časová změna tohoto úhlu nulová, tj. .

Řešení soustavy rovnic (302) nalezneme postupnými kroky. Nejdříve umocníme první dvě rovnice soustavy na druhou a sečteme je. Dostaneme rovnici , po jejíž úpravě získáme tvar . Odmocněním přejde rovnice na tvar

,

(303)

odkud vyplývá

.

(304)

Ve vztahu (303) je na jeho pravé straně konstanta, proto je integrace podle proměnné t jednoduchá.

Vydělením prvních dvou rovnic soustavy (302) získáme rovnici , která po úpravě přejde na tvar . Dostáváme tedy rovnici

.

(305)

Derivací rovnice (305) podle času získáme rovnici , odkud můžeme vyjádřit

.

(306)

Ze druhé rovnice soustavy (302) můžeme vyjádřit

.

(307)

Nyní můžeme do vztahu (306) dosadit ze vztahu (307), čímž získáme rovnici . Do jejího upraveného tvaru  dosadíme ze vztahu (303) a získáme

.

(308)

Odtud již snadno určíme

.

(309)

Dosazením vztahů (303) a (308) do třetí rovnice soustavy (302) dostaneme . Postupnými úpravami získáme rovnici ve tvaru , a tedy můžeme psát . S využitím vztahu (293) dostáváme rovnici ve tvaru , takže máme

.

(310)

Získali jsme tedy řešení Eulerových kinematických rovnic ve tvaru

, přičemž ,  a .

(311)

Při hledání řešení soustavy rovnic (302) byly prováděny operace, které z hlediska matematiky vyžadují komentáře a diskusi jejich platnosti (při dělení není možné dělit nulou, …). Z fyzikálního hlediska ovšem hodnoty goniometrických funkcí nemohou být nulové, tj. jejich argumenty nemohou z fyzikálních důvodů mít hodnoty 0 nebo . Proto jsou všechny provedené úpravy v tomto případě korektní.

U bezmomentového setrvačníku tedy nastává tzv. regulární precese (pravidelná precese), při níž se poloha osy otáčení (tj. směr vektoru ) mění v čase pravidelně (koncový bod vektoru opisuje kružnici). V případě rotace Země je tato precese důsledkem pohybů během počátečního vývoje Sluneční soustavy, dopadem meteoroidů na Zem, … Ve skutečnosti ovšem právě popisovaná precese není takto pravidelná, neboť na Zemi působí svou gravitační silou Měsíc, působí na ní i Slunce, sama Země není dokonale symetrické těleso ani to není ideálně tuhé těleso, … Proto vznikají nepřesnosti v tomto precesním pohybu, které mají periodu 427 dní, a zemská osa tedy neprotíná Zemi v jednom bodě (severní pól), ale opisuje kolem severního pólu kružnici o poloměru asi 4 m.

Tato kružnice je analogická kružnici, která je na obr. 70 znázorněna modrou křivkou.

Právě určený směr úhlové rychlosti  (tj. směr osy rotace) byl určen vzhledem k tělesu (vzhledem k Zemi, vzhledem ke korotující bázi). Určit směr vektoru  vzhledem k pevné bázi (vzhledem ke stálicím, vzhledem k systému GPS, …) není jednoduché. Pro určení pohybu vektoru  vzhledem k pevné bázi je nutné určit jeden vybraný směr. Tímto vybraným směrem může být např. směr vektoru momentu hybnosti . Moment hybnosti je totiž veličina, která se v izolované soustavě zachovává.

Bezmomentový setrvačník takovou izolovanou soustavou je. Ostatně ze vztahu (285) pro bezmomentový setrvačník plyne  a tedy

S využitím vztahů (288), (292), (296) a (297) můžeme pro složky momentu hybnosti  psát:

,  a

(312)

a pro jeho velikost dostáváme . Po dosazení ze vztahů (312) pak máme

(313)

Vektor momentu hybnosti  tedy opisuje také plášť kužele, ale obecně jiný, než opisuje vektor úhlové rychlosti . Oba ale opisují kužely se stejnou úhlovou frekvencí . Vektor momentu hybnosti  přitom svírá s osou z stálý úhel , pro který platí

.

(314)

Úhel  má přitom stejnou hodnotu jako úhel  z řešení (311).

Na základě nalezeného řešení (298) pro vektor úhlové rychlosti  a řešení (312) pro vektor momentu hybnosti  lze psát

,

(315)

což znamená, že v každém okamžiku vektory a  a osa z leží v jedné rovině.

Na vztah (315) lze nahlížet jako na parametrické vyjádření roviny, která je dána vektory  a .

Z hlediska pevné báze (tj. vzhledem ke stálicím, systému GPS, …) má stálý směr v prostoru vektor momentu hybnosti  a setrvačník (Země) rotuje kolem něj.

Kolem vektoru  tedy rotuje osa z a kolem ní vektor úhlové rychlosti .

Situaci lze znázornit pomocí dvou kuželů, které se kolem sebe valí. Přímka, která je okamžitou dotyčnicí obou kuželů, určuje směr vektoru úhlové rychlosti . Oba kužely přitom popisují precesi vektoru úhlové rychlosti  - jeden kužel znázorňuje její precesi kolem vektoru momentu hybnosti , druhý kužel pak precesi kolem osy z daného kartézského systému.

V závislosti na vzájemné hodnotě momentů setrvačnosti  a  uvažovaného tělesa mohou nastat dva případy:

1.      - ze vztahu (314) a z toho, že funkce tangens je rostoucí, vyplývá, že  a kužel spojený s momentem hybnosti  se valí uvnitř kužele spojeného s osou z daného kartézského systému (viz obr. 71).

2.      - ze vztahu (314) a z toho, že funkce tangens je rostoucí, vyplývá, že  a kužel spojený s momentem hybnosti  se valí vně kužele spojeného s osou z daného kartézského systému (viz obr. 72).

Vektory na obr. 71 a obr. 72 by měly být správně otočeny tak, aby vektor momentu hybnosti  měl svislý směr. Bylo by tím lépe naznačeno, že je to právě tento vektor, jehož směr se v prostoru zachovává!

Pro nesymetrický setrvačník je řešení jeho pohybu komplikovanější. Navíc se nezachovává ani směr ani velikost úhlové rychlosti .

U symetrického se zachovává velikost vektoru úhlové rychlosti .

Obr. 71	Obr. 72