Důkaz platnosti algebraických vztahů

Využitím geometrického řešení lze také dokázat platnost některých algebraických vztahů.

Platnost vztahu, který v současné době zapisujeme ve tvaru , lze dokázat s využitím obr. 11. Na něm je zobrazen čtverec ABCD o straně délky a + b; jeho obsah tedy je . Do tohoto čtverce je vepsán další čtverec a čtyři shodné pravoúhlé trojúhelníky. Obsah čtverce EFGH přitom je  - tento čtverec je totiž sestrojen nad přeponou jednoho ze čtyř pravoúhlých trojúhelníků HAE, EBF, FCG nebo GDH. Všechny tyto pravoúhlé trojúhelníky mají odvěsny o délkách a a b. Podle Pythagorovy věty je pak délka jejich přepon rovna  a tedy obsah čtverce sestrojeného nad touto přeponou je roven . Obsahy uvedených čtyř shodných pravoúhlých trojúhelníků jsou přitom rovny obsahu dvou obdélníků o stranách délky a a b.

Dva tyto pravoúhlé trojúhelníky lze totiž přeskládat do jednoho obdélníka.

Obr. 11

Obsah čtverce ABCD tedy můžeme psát buď ve tvaru  nebo v ekvivalentním vyjádření jako součet obsahu čtverce EFGH a čtyř shodných pravoúhlých trojúhelníků, tedy .

Tím je platnost vztahu dokázána.

Analogicky lze dokázat platnost vztahu, který v současné době zapisujeme ve tvaru . Na obr. 12 je zobrazen čtverec KBEH o straně délky a - b a tedy o obsahu . Obsah tohoto čtverce přitom můžeme vyjádřit také pomocí obsahu čtverce ABCD, obsahu čtverce EFGC a obsahů dvou obdélníků AKLD a HFGL. Obsah čtverce ABCD, jehož strana má délku a, je . Obsah čtverce EFGC o straně délky b je . Každý z obdélníků AKLD a HFGL má strany délky a a b, a proto obsah každého z nich je ab.

Přitom obsah čtverce KBEH je roven součtu obsahů čtverců ABCD a EFGC zmenšenému o obsah obou obdélníků AKLD a HFGL. Tím je platnost uvedeného vztahu dokázána.

Obr. 12

Také vztah, který se v současné době zapisuje ve tvaru , lze dokázat geometricky. Na obr. 13 je zobrazen gnómon BCEFGH, který vznikl  ze čtverce ACEF o straně délky a vyříznutím čtverce ABHG o straně délky b. Obsah gnómu BCEFGH proto je .

Obr. 13	Obr. 14

Gnómon BCEFGH lze ovšem přeskládat do obdélníka DEJK zobrazeného na obr. 14, přičemž tento obdélník má stejný obsah jako původní gnómon. Obdélník DEJK má přitom strany délky a - b a a + b, tj. jeho obsah je .

Tím je platnost vztahu dokázána.

Analogicky lze dokázat také platnost vztahů, v nichž se vyskytují třetí mocniny.