Definice zlatého řezu

Speciálním případem úměry a:b = p:q je tzv. zlatý řez. Uvažujme úsečku AB, na níž leží bod C (viz obr. 23).

Řekneme, že bod C dělí úsečku AB v poměru zlatého řezu, jestliže pro délky uvažovaných úseček platí vztah

,

(10)

poměr délek celé úsečky a její delší části je tedy roven poměru délek její delší části a kratší části.

Obr. 23

Po označení délky úsečky AB písmenem a a délky její delší části písmenem x, získáme úměru ve tvaru

a:x = x:(a - x).

(11)

Vyjádříme-li úměru (11) pomocí zlomků ve tvaru , můžeme poměrně snadno dojít ke kvadratické rovnici

.

(12)

Vyřešíme-li rovnici (12) současnými metodami, získáme postupně řešení ve tvaru . Po částečném odmocnění získáme řešení ve tvaru

.

(13)

Je zřejmé, že řešení  je kladné a řešení  je záporné. Symbolem  a označením zlatý řez se označuje převrácená hodnota kladného řešení, tj. . V dalším textu budeme uvažovat jednotkovou délku úsečky AB.

Jedná se o POMĚR, a proto můžeme uvažovat délku původní úsečky, na základě které byl tento poměr odvozen, rovnu jedné nějaké jednotce.

Pojem zlatý řez použil poprvé pravděpodobně Leonardo da Vinci. Český matematik František Servít (1848 - 1932), který vydal v roce 1907 první překlad Eukleidových Základů do češtiny, použil termín poměr krajní a střední. Jiný český matematik Josef Úlehla (1852 - 1933) použil ve svých Dějinách matematiky z roku 1901 pojem rozdělení úsečky v poměru vnějším a vnitřním.

Označený poměr nyní upravíme a usměrníme: . Dostáváme tak pro zlatý řez vztah

.

(14)

Hodnota tohoto čísla je  a patří mezi iracionální čísla. Hodnota kladného kořene rovnice (12) je .

To znamená, že zlatý řez není možné vyjádřit pomocí zlomku. Dokonce ze všech iracionálních čísel je toto číslo „nejiracionálnější“ - tj. nejvíce se odlišuje od všech zlomků.

Jako podíl dvou čísel je možné zlatý řez napsat s využitím členů Fibonacciho posloupnosti. Ale pokud chceme obdržet skutečně zlatý řez, musíme počítat limitu Fibonacciho posloupnosti.

Délka úsečky AC na obr. 23 je geometrickým průměrem délek úseček AB a CB. Proto je obsah čtverce sestrojeného nad delší částí úsečky AB (tj. nad částí AC) roven obsahu obdélníka, jehož strany mají délky stejné jako je délka celé úsečky AB a délka její kratší části (tj. délka úsečky CB) - viz obr. 24.

Rovnici (12) totiž můžeme přepsat ve tvaru , čili . Tento tvar ale přesně odpovídá geometrickému znázornění problému na obr. 24: obsah čtverce se stranou rovnou délce úsečky AC (tj. x) je roven obsahu obdélníka o stranách stejných délek, jako mají úsečky AB (tj. a) a CB (tj. a - x).

V tomto smyslu je zlatý řez prezentován i v Eukleidových Základech.

Obr. 24

Při hledání zlatého řezu vlastně hledáme takový obdélník BCEF (obr. 25), který má zajímavou vlastnost. Sestrojíme-li nad jeho delší stranou EF čtverec FEDA, získáme obdélník ABCD, který je obdélníku BCEF podobný. Všechny obdélníky s touto vlastností jsou si navzájem podobné. Délky jejich stran jsou pak v poměru zlatého řezu.

Podle obr. 25 můžeme pro podobnost obdélníků ABCD a BCEF psát: . Po dosazení pomocí délek uvažovaných úseček dostáváme poměr , který je shodný s definičním poměrem zlatého řezu vyjádřeným vztahem (11).

Obr. 25