Číselné vlastnosti zlatého řezu

Zlatý řez má některé zajímavé matematické vlastnosti. Připomeňme, že definice zlatého řezu je založena na řešení rovnice (12), která má tvar  a jejíž řešení (13) pro jednotkovou délku původní úsečky (tj. pro a = 1) má tvar . Zlatý řez je pak definován vztahem (14) ve tvaru .

Pro převrácenou hodnotu zlatého řezu  platí . Po usměrnění a úpravě postupně dostáváme: . Vyčíslíme-li nyní výraz , dostaneme postupně . Můžeme tedy psát vztah

,

(15)

nebo-li platí .

To tedy znamená, že převrácenou hodnotu zlatého řezu určíme tak, že od zlatého řezu odečteme číslo 1, tedy

Umocníme-li zlatý řez  na druhou, postupně dostaneme . Můžeme tedy psát

.

(16)

Druhou mocninu zlatého řezu získáme tak, že ke zlatému řezu přičteme číslo 1, tj.

Dále platí vztah pro třetí mocninu zlatého řezu ve tvaru:

.

(17)

Důkaz tohoto tvrzení provedeme rozepsáním levé a pravé strany vztahu (17). S využitím definice zlatého řezu pomocí vztahu (14) můžeme levou stranu vztahu (17) psát postupně ve tvaru: . Podobně můžeme vyjádřit pravou stranu vztahu (17) postupně ve tvaru: . Na základě provedených výpočtů je tedy zřejmé, že vztah (17) skutečně platí.

Podívejme se nyní na nekonečný výraz sestávající ze druhých odmocnin a čísla 1, tj. na výraz . Pokud budeme chtít určit jeho hodnotu, můžeme postupovat tak, že postupně budeme vyčíslovat výrazy , , , … Jiná varianta výpočtu spočívá v označení daného výrazu a následném umocnění. Označíme-li

,

(18)

umocněním získáme: . S využitím označení (18) získáme rovnici ve tvaru , kterou můžeme přepsat do tvaru

.

(19)

Její řešení pak můžeme psát ve tvaru

.

(20)

Kladný kořen  je přitom roven zlatému řezu ve tvaru (14). Proto můžeme psát

.

(21)

Další nekonečný výraz představuje zlomek

.

(22)

S využitím tohoto označení (a vzhledem k nekonečnému charakteru zlomku) můžeme psát rovnici , kterou můžeme převést do tvaru . Vzhledem k tomu, že tato rovnice je totožná s rovnicí (19), má také stejné řešení. To znamená, že jsme našli další způsob zápisu zlatého řezu:

.

(23)