Zlatý řez a pětiúhelník

Poměr zlatého řezu se vyskytuje také v souvislosti s pravidelným pětiúhelníkem. Zájem řeckých matematiků o zlatý řez velmi pravděpodobně souvisel s tím, že pravidelný pětiúhelník byl pro Pythagorejce posvátným symbolem. Sestrojení pravidelného trojúhelníka, čtyřúhelníka, šestiúhelníka bylo velmi snadné; sestrojit pravidelný pětiúhelník se ale nedařilo. Pravidelný pětiúhelník se podařilo sestrojit až po objevení zlatého řezu.

Nejdříve se podíváme, jak souvisí zlatý řez s pravidelným pětiúhelníkem. Uvažujme pravidelný pětiúhelník ABCDE, ve kterém sestrojíme tři jeho úhlopříčky (viz obr. 29). Úhlopříčky AD a CE se přitom protínají v bodě S. Trojúhelník ABC je rovnoramenný (strany AB a BC trojúhelníka jsou také strany pravidelného pětiúhelníka) a tedy těžnice na jeho základnu AC je zároveň výškou na tuto stranu. Trojúhelník ASC je s trojúhelníkem ABC shodný, proto rovnoběžník ABCS je kosočtverec.

Vzhledem ke shodnosti obou trojúhelníků, které jej tvoří, má rovnoběžník ABSC všechny čtyři strany stejně dlouhé. Navíc výšky na základy trojúhelníků ABC a ASC leží na téže přímce, která navíc půlí stranu AC (výška na základu je v rovnoramenném trojúhelníku současně těžnicí). Proto je rovnoběžník ABSC kosočtverec

Trojúhelníky ABC a ESD jsou podobné, a proto platí: . Úhlopříčky AC a EC jsou navzájem stejně dlouhé a úsečky AB, CS a ED jsou navzájem také stejně dlouhé. Proto můžeme poměr  psát ve tvaru . Tento poměr je shodný s poměrem určující definici zlatého řezu. Proto bod S dělí úhlopříčku EC v poměru zlatého řezu, tj. platí

.

(24)

Obr. 30

Nyní již byla konstrukce pravidelného pětiúhelníka snadná:

1.     Sestrojíme úsečku EC.

2.     Pomocí konstrukce zlatého řezu najdeme bod S.

3.     Z bodu C opíšeme kružnici k o poloměru rovném délce úsečky EC.

4.     Z bodu E opíšeme kružnici l o poloměru rovném délce úsečky CS (tj. rovné délce strany pravidelného pětiúhelníka).

5.     Na průsečíku kružnic k a l leží vrchol A hledaného pětiúhelníka.

6.     Z bodů A a C sestrojíme kružnice o poloměru rovném délce úsečky CS a na jejich průsečíku získáme vrchol B pětiúhelníka.

7.     Z bodů E a C sestrojíme kružnice o poloměru rovném délce úsečky CS a na jejich průsečíku získáme vrchol D pětiúhelníka.

Zakreslíme-li do pravidelného pětiúhelníku dvě sousední úhlopříčky, získáme tři rovnoramenné trojúhelníky (viz obr. 30). Vnitřní úhly u základny rovnoramenného trojúhelníka jsou shodné, a proto mají vnitřní úhly trojúhelníka ABD hodnoty ,  a .

Tyto hodnoty můžeme získat, pokud si uvědomíme, že jeden vnitřní úhel pravidelného pětiúhelníka je . Úhel  je pak vedlejší úhel k úhlu .

Při odvozování dělícího poměru úhlopříčky pravidelného pětiúhelníka jsme zjistili tyto vlastnosti:

1.     délka strany pravidelného pětiúhelníka AB je stejná jako délka delší části CS úhlopříčky EC;

2.     úhlopříčka pravidelného pětiúhelníka je další jeho úhlopříčkou rozdělena v poměru zlatého řezu, tj. platí vztah (24).

Proto nyní můžeme psát

,

(25)

tj. délka strany pravidelného pětiúhelníka dělí jeho úhlopříčku v poměru zlatého řezu.

Strana AD trojúhelníka ABD leží na úhlopříčce pravidelného pětiúhelníka a strana AB uvažovaného trojúhelníka tvoří stranu pravidelného pětiúhelníka.

Trojúhelník, ve kterém platí vztah (25), se nazývá zlatý trojúhelník.

Rovnoramenný trojúhelník s poměrem délky ramena k délce základny v hodnotě zlatého řezu se nazývá zlatý trojúhelník.

Obr. 31

Obr. 32

Rozpůlíme-li úhel při vrcholu A v trojúhelníku ABD (zobrazeném na obr. 30), získáme na průsečíku právě sestrojeného ramene úhlu a úsečky BD bod Z (viz obr. 31). Trojúhelníky ABD a BZA jsou podobné a navíc platí poměr . Vzhledem k tomu, že délky úseček AB, ZA a DZ jsou navzájem shodné, můžeme uvedený poměr psát ve tvaru , který odpovídá definici zlatého řezu. Bod Z tedy dělí úsečku BD v poměru zlatého řezu, tj. platí .

S využitím právě uvedených vlastností pravidelného pětiúhelníka můžeme nyní upozornit na další vlastnosti. Spojením všech vrcholů úhlopříčkami získáme pentagram (viz obr. 32), který sehrál v dějinách lidstva a zejména v dějinách náboženství důležitou úlohu. Tyto úhlopříčky navíc vytvoří další pětiúhelník a jeho úhlopříčky opět pentagram. Tímto způsobem bychom mohli pokračovat stále dále. Nápadnou vlastností, která vyplývá z výše uvedeného, je poměr úseček a, b, c, d, e a f. Pro tyto úsečky totiž platí poměr

.

(26)

Obr. 33

Na základě platnosti poměru (26) a na základě skutečnosti, že uvedený postup vytváření stále menších pravidelných pětiúhelníků a pentagramů lze opakovat do nekonečna, lze také dokázat nesouměřitelnost úseček o délce a a b. Jinými slovy: délka úhlopříčky pravidelného pětiúhelníka a délka jeho strany jsou navzájem nesouměřitelné, tj. jejich poměr není vyjádřit poměrem dvou přirozených čísel; jejich poměr je roven zlatému řezu, což je iracionální číslo.