Al-Káší a jeho přínos

V Samarkandu, kde žil i Uzbek Džemíd al-Káší (cca 1350 - 1436), byla ve 20. letech 15. století založena astronomická observatoř vybavená nejlepšími optickými přístroji své doby. Tam byly také pro potřeby astronomů sestaveny přesné astronomické tabulky Zídž Guragání, které obsahovaly i tabulky sinů - v tomto případě s krokem jedné úhlové minuty. V těchto tabulkách byly také tabulky tangent; obojí tabulky byly vypočteny s přesností na 5 šedesátinných míst.

Al-Káší popisuje v dopise Rísalat al-watar wal-Džajb (Dopis o tětivě a sinu) přibližně z roku 1400, jak získat jiným způsobem než Ptolemaiovým postupem hodnotu . Ptolemaiův postup lze totiž zpřesňovat jen velmi obtížně. Al-Káší přišel se zcela odlišným postupem, než jaký navrhl Abú’l-Wafá‘, jehož postup navazoval ještě na Ptolemaiův postup.

Původní al-Kašího práce je sice ztracena, ale jeho postup je dochován např. v komentáři k astronomickým tabulkám Pravidla operací a oprava tabulek, který sepsal Marján Čelebí kolem roku 1500. Čelebího dědeček byl astronom a matematik Qádí Záda al-Rúmí (1364 - 1436) a pracoval v Samarkandu podobně jako al-Káší. Sepsal Traktát o určení sinu jednoho stupně, ve kterém je vyložen al-Kášího postup výpočtu.

V době, ve které žil al-Káší, byla dobře známa hodnota ; funkce  je přitom definována vztahem (6). V dalším textu bude uveden al-Kášího postup, ale bude přepsán do současného zápisu s využitím v současné době používaného sinu. Al-Káší vychází z tehdy známého vztahu

,

(9)

do kterého dosazuje . Za neznámou (v tehdejší terminologii věc) považuje přitom , čímž problém převádí na řešení kubické rovnice

(10)

s neznámou . Jedná se vlastně o problém trisekce úhlu, jehož přeformulování na kubickou rovnici (tj. na rovnici třetího stupně) se podařilo již v 11. století. Rovnici (8) Al-Káší píše ve tvaru , z níž vyjadřuje

.

(11)

Rovnice (9) tvoří základ iteračního předpisu, kterou tuto rovnici řeší. Iterační předpis tak má tvar

, kde .

(12)

Přesněji řečeno Al-Káší hledá řešení ve tvaru , ve kterém jednotlivá  pro  reprezentují jednotlivé cifry zapsané v šedesátkové číselné soustavě vydělené příslušnou mocninou čísla 60.

Po devíti provedených iteracích obdržel hodnotu  s přesností na sedm šedesátinných míst, čímž dosáhl do té doby nevídané přesnosti. Tento postup má (na rozdíl od Ptolemaiova postupu a dalších postupů z něj vycházejících) tu výhodu, že stačí znát dostatečně přesně hodnotu  a poté již získáme po několika iteracích hodnotu  s požadovanou přesností.