Odvození velikosti parabolické rychlosti

Velikost parabolické rychlosti , tj. velikost rychlosti, kterou musíme udělit tělesu o hmotnosti m v centrálním gravitačním poli tělesa o hmotnosti M ve vzdálenosti r od jeho středu ve směru kolmém ke směru gravitační síly působící na toto těleso, odvodíme ze zákona zachování mechanické energie. Přitom je nutné vzít v úvahu fakt, že získá-li těleso tuto velikost rychlosti, navždy se bude vzdalovat od centrálního tělesa; jeho gravitační pole bude slabé na to, aby zakřivilo trajektorii pohybu tělesa tak, aby se toto těleso vrátilo zpět.

Zákon zachování mechanické energie lze v tomto případě psát ve tvaru , kde indexem 1 jsou značeny energie v místě startu tělesa a indexy 2 jsou označeny energie, které toto těleso bude mít ve velkých vzdálenostech od centrálního tělesa. Uvedený zákon je možné rozepsat ve tvaru .

Důvod, proč je gravitační potenciální energie tělesa ve velké vzdálenosti od centrálního tělesa nulová, vyplývá ze zvolené hladiny nulové potenciální energie této energie i ze vztahu pro tuto energii: vzdálenost vystupuje ve jmenovateli zlomku, tedy pro velké vzdálenosti od centrálního tělesa bude gravitační potenciální energie nulová.

Důvod, proč je kinetická energie nulová, vyplývá ze samotného zákona zachování mechanické energie. Jestliže gravitační potenciální energie s rostoucí vzdáleností od centrálního tělesa roste, kinetická energie musí klesat. V extrémně velké vzdálenosti od centrálního tělesa bude mít proto i kinetická energie nulovou hodnotu.

Nárůst potenciální energie s rostoucí vzdáleností od centrálního tělesa je zajištěn znaménkem mínus ve vztahu pro její výpočet.

Z upraveného vztahu pro zákon zachování mechanické energie lze již vyjádřit hledanou velikost parabolické rychlosti ve tvaru

.

(4)

S využitím vztahu pro velikost kruhové rychlosti  lze velikost parabolické rychlosti psát ve tvaru .

Pro body startu tělesa ve vzdálenostech v blízkosti povrchu Země můžeme psát: .