Matematický popis

Při matematickém popisu Comptonova jevu vyjdeme ze situace zobrazené na obr. 16: elektron o klidové hmotnosti  se nachází v klidu a s ním interaguje foton s frekvencí  a hybností . Po srážce se elektron pohybuje s hybností  a rozptýlený foton s frekvencí f má hybnost .

Obr. 16

Při popisu této interakce platí zákon zachování energie, který lze psát ve tvaru:

,

(1)

kde  je energie původního fotonu,  je energie rozptýleného fotonu a  je energie pohybujícího se elektronu. Vztah pro tuto energii vyplývá z relativistického vztahu mezi energií a hybností. Symbolem h je označena Planckova konstanta.

Dosazením uvedených vztahů do vztahu (1) dostaneme rovnici ve tvaru:

.

(2)

Rovnici ve tvaru (2) postupně upravíme. Nejdříve odečteme jeden člen z pravé strany na levou:

.

(3)

Nyní obě strany rovnice umocníme: .

Umocnění je v tomto případě matematicky ekvivalentní úprava. Vzhledem k tomu, že (na základě vztahu (1)) je , je levá strana rovnice (3) kladná. Odmocnina stojící na pravé straně téže rovnice je kladná z definice.

Další úpravou získáme rovnici ve tvaru:

.

(4)

Dále platí pro studovanou interakci zákon zachování hybnosti, který můžeme psát ve tvaru:

,

(5)

z něhož můžeme vyjádřit hybnost elektronu ve tvaru:

.

(6)

Pokud si uvědomíme, že uvažované hybnosti lze graficky zobrazit pomocí obr. 17, můžeme s využitím kosinové věty psát:

.

(7)

Obr. 17

 

Uvědomíme-li si, že pro hybnosti fotonu platí vztahy:

resp. ,

(8)

můžeme vztah (7) psát ve tvaru:

.

(9)

Ze vztahu (9) tak můžeme vyjádřit:

.

(10)

Vztah (10) tedy vyjadřuje (až na násobek kvadrátem velikosti rychlosti světla ve vakuu) kvadrát velikosti hybnosti elektronu po interakci s fotonem. Tato veličina vystupuje i ve vyjádření zákona zachování hybnosti ve tvaru (4). Proto můžeme vyjádření dané vztahem (10) dosadit do vztahu (4) a dostaneme rovnici: .

Tuto rovnici upravíme do tvaru:

.

(11)

Foton lze kromě jeho frekvence popsat i odpovídající vlnovou délkou ; mezi oběma veličinami přitom platí:

.

(12)

S využitím vztahu (12) lze rovnici (11) psát ve tvaru: tvaru:

,

(13)

který můžeme dále upravit do tvaru . Odtud dostáváme vztah:

.

(14)

Vztah (14) popisuje změnu vlnové délky při rozptýlení fotonu do směru, který se směrem pohybu původního fotonu svírá úhel .

Ze zákona zachování energie plyne, že . Proto , a tedy .

Změna vlnové délky fotonu je maximální (ve shodě se vztahem (14)), když je maximální výraz . Tento výraz je maximální pro , tedy pro . Největší změna vlnové délky měřená u fotonu tedy bude tehdy, když se bude rozptýlený foton pohybovat proti směru pohybu původního fotonu.