***Fyzické kyvadlo

Matematické kyvadlo se špatně realizuje - v praxi je nesestrojitelné. Skutečná kyvadla jsou vždy tuhá tělesa, která jsou zavěšena tak, aby se mohla kývat kolem osy procházející nad těžištěm. Takové kyvadlo se nazývá fyzické kyvadlo. Odvození na úrovni střední školy není zcela přímočaré, ale přesto se můžeme alespoň přiblížit. Vyjdeme ze zákona zachování energie (viz obr. 14).

Obr. 14

Kyvadlo popíšeme pomocí vzdálenosti l těžiště od osy otáčení, hmotnosti kyvadla m a momentu setrvačnosti J vzhledem k ose symetrie (tj. ose procházející těžištěm kyvadla). Při vychýlení kyvadla o malý úhel do výšky h získá kyvadlo potenciální energii (vzhledem ke své rovnovážné poloze) . Výšku h lze vyjádřit pomocí goniometrické funkce , odkud dostáváme . Potenciální energii, kterou má kyvadlo v této výšce lze psát ve tvaru . Vzhledem k tomu, že nás zajímají malé rozkyvy kyvadla, lze použití přibližný vztah , který pro malé úhly platí. Potenciální energii pak lze psát ve tvaru .

Důkaz přibližné rovnosti platící pro malé úhly lze provést pomocí limity. Přepíšeme-li si tento vztah jinak, dostaneme . Má-li vztah platit přibližně pro malé úhly, pak hledáme limitu z tohoto výrazu, v němž se blíží k nule. Lze tedy postupně psát: .

Funkce se tedy v okolí počátku soustavy souřadnic (tedy pro malý rozkyv kyvadla) chová podobně jako funkce .

Potenciální energie se bude po uvolnění kyvadla měnit v kinetickou energii rotačního pohybu , kde je moment setrvačnosti vzhledem k ose, kolem níž se kyvadlo kýve, vypočítaný na základě Steinerovy věty a úhlová rychlost rotačního pohybu. Ze zákona zachování mechanické energie dostáváme a po dosazení . Odtud dostáváme úhlovou frekvenci kmitání fyzického kyvadla ve tvaru . Tento vztah je možné upravit na , kde je tzv. redukovaná délka fyzického kyvadla.

Fyzické kyvadlo se tedy kýve se stejnou periodou jako kyvadlo matematické, je-li redukovaná délka fyzického kyvadla stejná jako délka matematického kyvadla.