***Galileiho transformace

Galileiho transformace se týká problému pohybu dvou inerciálních soustav. Uvažujme inerciální soustavu , která se pohybuje rychlostí o velikosti v vzhledem k inerciální soustavě S; v obou soustavách přitom zvolíme soustavy souřadnic 0xyz resp. .

Vezmeme v úvahu pouze tzv. speciální Galileiho transformaci, tj. transformaci mezi takovými dvěma inerciálními soustavami, u nichž v počátečním čase  splývaly soustavy souřadnic 0xyz a . Inerciální soustava  se začala v čase  pohybovat vůči soustavě S rychlostí o velikosti v v kladném směru osy x (resp. ). Určitou událost A popíšeme v soustavě  souřadnicemi , v soustavě S popíšeme tu samou událost souřadnicemi . Mezi uvedenými souřadnicemi platí převodní vztahy: , ,  a  (viz obr. 1, kde je zobrazena událost A pouze v soustavě souřadnic v rovině).

V řeči klasické mechaniky je bodová událost totéž co hmotný bod!

Bude-li se bod A pohybovat rychlostí o velikosti u vzhledem k soustavě S, lze jeho velikost rychlosti  vzhledem k soustavě  vyjádřit z následující úvahy. Za časový okamžik  se změní poloha bodu A o . Vzhledem k tomu, že pro velikost x-ové složky rychlosti bodu A vzhledem k soustavě S platí  a pro velikost x-ové složky rychlosti bodu A vzhledem k soustavě S´ platí , dostáváme z výrazu pro přírůstek polohy (po vydělení ): . Pro složky rychlostí ve směru os y a z (resp.  a ) dostáváme:  a .

Analogickou úvahou (tedy s využitím vztahu ) lze dostat vztah pro transformaci zrychlení bodu A: ,  a .

Obr. 1

Inverzní Galileiho transformací je transformace, při níž přecházíme ze soustavy  do soustavy S.

To znamená, že vyjadřujeme „nečárkované“ souřadnice, rychlosti a zrychlení (resp. jejich složky).

Obecná Galileiho transformace pak odpovídá situaci, kdy počátky soustav souřadnic inerciálních soustav S a  jsou vůči sobě posunuty v libovolném směru o libovolnou vzdálenost, osy jsou vůči sobě natočeny o libovolný úhel a vektor rychlosti  není rovnoběžný s žádnou z os soustav.