***Kvantitativní popis Bohrova modelu atomu

Bohrův model atomu byl používán ještě před položením matematických základů kvantové mechaniky. Vycházel z analogie pohybu planet kolem Slunce a byl jakousi kombinací klasické fyziky a kvantové fyziky. Záporně nabitý elektron se v tomto modelu pohybuje kolem kladně nabitého jádra po kružnicích. Pohyb po kružnici je způsoben dostředivou silou, která je realizována v tomto případě Coulombovskou přitažlivou silou. Lze tedy psát: . Bohr dále doplnil kvantovací podmínku, kterou lze interpretovat jako požadavek, aby se na kruhovou trajektorii o poloměru r vešel celočíselný násobek de Brogrlieových vlnových délek: .

Řešením obou rovnic jako soustavy pro neznámé r a v dostáváme poloměr kruhové trajektorie a velikost rychlosti oběhu elektronu kolem jádra v závislosti na n:  a .

Nyní je možné na základě právě odvozených vztahů určit energetické stavy atomu vodíku. Je třeba znát celkovou energii E elektronu. Ta je dána kinetickou energií  elektronu při jeho oběhu kolem jádra a potenciální energií , kterou má elektron vzhledem k jádru. Pro kinetickou energii  elektronu tedy je možné psát: .

Podobně můžeme vyjádřit potenciální energii  elektronu vzhledem k atomovému jádru. Záporně nabitý elektron se pohybuje v elektrickém poli, které vytváří kladně nabité atomové jádro. Potenciál kladně nabitého atomového jádra ve vzdálenosti  od jádra je dán vztahem , kde  je náboj jádra (jádro má opačný náboj než elektron). Potenciální energie záporně nabitého elektronu je pak dána vztahem , což můžeme dále upravit na tvar: .

Pro celkovou energii elektronu ve stavu n pak platí: .

Při přechodu elektronu z vyšší energetické hladiny  na nižší hladinu  elektron vyzáří kvantum elektromagnetického záření o frekvenci , která splňuje podmínku . Pro frekvenci  tedy platí: . Po dosazení za energie příslušných hladin dostáváme: . Jak je vidět, tato frekvence závisí pouze hlavních kvantových číslech, popisujících příslušnou energetickou hladinu, neboť zlomek  je dán základními fyzikálními konstantami. Po označení a dosazení dostaneme , což je hodnota Rydbergovy frekvence.

Podle tohoto modelu elektron obíhá kolem jádra jako planety kolem Slunce po kruhových trajektoriích (později byl model rozšířen i na trajektorie eliptické), ale poloměry těchto drah a velikosti rychlostí (resp. hodnoty energie) elektronu jsou kvantovány.

Bohrův model nepopisuje adekvátně atom vodíku (nevysvětlí např. jeho kulovou symetrii, …), a tím spíše není vhodný pro popis složitějších atomů. Byl proto vystřídán Schrödingerovým modelem a dnes má jen historický význam. Přesto je zajímavé, že podle právě odvozených rovnic dostaneme jako poloměr trajektorie s nejnižší energií právě hodnotu Bohrova poloměru a také správnou hodnotu ionizační energie atomu vodíku .

Obrázek atomu jako malé planetární soustavy se pro svou názornost stal velmi populárním.