Motivační příklad

Příklad: Pohyb planet
Nalezněte tvar trajektorie, po které se pohybují planety kolem Slunce.
Řešení: Planety se pohybují v rovině pod vlivem centrální gravitační síly , která je dána vztahem: . Tato síla je silou, která uděluje tělesu o hmotnosti m zrychlení . Proto můžeme v jednotlivých složkách kartézského systému souřadnic psát:
. Úpravou těchto rovnic získáme , což je stále velmi komplikovaný výraz pro další výpočet.
V polárních souřadnicích lze zadaný problém popsat jednodušeji pomocí rovnic:
, které lze upravit na tvar . Ze druhé rovnice okamžitě vyplývá, že  a tedy . Dosazením do první rovnice získáme rovnici , jejímž řešením je , kde .

Rovnice  přitom vyjadřuje rovnici kuželosečky v polárních souřadnicích. V závislosti na parametru  získáme jednotlivé typy kuželoseček:

1.     pro  se jedná o kružnici;

2.     pro  se jedná o elipsu;

3.     pro  a zároveň  se jedná o parabolu;

4.     pro  se jedná o hyperbolu.

Z uvedeného příkladu je zřejmé, že popis problému v jiných než kartézských souřadnicích je výhodnější a snadněji se řeší. Proto se zavádějí zobecněné souřadnice.

Podrobněji je tato problematika rozebrána u pohybu planet.