Popis pohybu částice ve sférických souřadnicích

Lagrangeova funkce popisující pohyb částice v kartézských souřadnicích je zapsána ve tvaru (179). Do sférických souřadnic jí přepíšeme pomocí následujících transformačních vztahů:

;

;

.

Tyto souřadnice závisí na čase. Proto nejdříve určíme jejich první derivace podle času:

;

;

Nyní dosadíme do lagrangiánu (179), zjednodušíme a dostaneme

.

(187)

Kanonické hybnosti odpovídající souřadnicím r,  a  získáme derivací lagrangiánu podle zobecněné rychlosti příslušející dané souřadnici. Takže postupně dostáváme

,  a .

(188)

Z předpisu pro kanonické hybností můžeme nyní vyjádřit příslušné zobecněné rychlosti ve tvarech

,  a .

(189)

Hamiltonovu funkci nyní můžeme psát ve tvaru . Po dosazení ze vztahů (187), (188) a (189) můžeme pro Hamiltonovu funkci uvažované pohybující se částice postupně psát . Takže hamiltonián je roven

(190)

a je nezávislý na čase. Proto tedy platí .

Další výpočet pomocí Hamiltonových rovnic není možný, protože neznáme konkrétní průběh potenciální energie .