NASTAVENÍ TISKU (tato tabulka nebude vytištěna) Zpět k článku | Vytiskni!
Komentáře [2x] - Zobrazit | Nadstandardní komentář [0x] | Definice [2x] - Zobrazit

Pohyb jedné částice po úsečce

Při odvozování pohybového zákona, který využívá zobecněné souřadnice v konfiguračním prostoru, začneme nejjednodušším případem: pohybem jedné částice (jednoho hmotného bodu) o hmotnosti m po úsečce (viz obr. 29). Tento systém bude obecně popsán holonomními reonomními vazbami.

Obr. 29

Trajektorii hmotného bodu tedy popíšeme obecně funkcí

.(20)

Místo vektorů, které používala při popisu pohybu hmotného bodu Newtonova mechanika, použijeme skalární fyzikální veličiny. Jednou z vhodných skalárních veličin je kinetická energie hmotného bodu, která je definována vztahem

.(21)

Vztah (21) lze přepsat ve tvaru . Uvědomíme-li si, že souřadnice popisující polohu hmotného bodu závisí na čase podle vztahu (20), můžeme kinetickou energii psát ve tvaru

(22)

a pro další výpočty je důležité si uvědomit, že kinetická energie je závislá na čase. Nyní ovšem vyšetříme chování této funkce v určitém vybraném čase . Tento čas je ale vybrán libovolně, takže následující úvaha platí pro libovolný čas t. Přepíšeme vztah (22) přesněji:

,(23)

kde  je okamžitá poloha hmotného bodu a  je okamžitá rychlost, kterou se hmotný bod v čase  pohybuje. Vztahem (23) jsme přešli od  k , tj. od časové derivace zobecněné souřadnice k zobecněné rychlosti. Od této chvíle jsou tedy q a  nezávislé parametry.

Právě provedenou úvahu se „zastavením času“ si lze představit tak, že z pohybu, který natočíme na film, nás bude zajímat jen jedno políčko vyvolaného filmu. A bude to právě to políčko, které bylo zaznamenáno v čase .

Nyní určíme výrazy  a :

(24)

a

.(25)

Pro jednoduchost jsme ve výrazech (24) a (25) nepsali argumenty u zadaných funkcí. Vztahy (24) a (25) jsou platné v každém časovém okamžiku, platí podél celé trajektorie, po níž se hmotný bod pohybuje. Proto nyní můžeme opět přejít k rovnicím, které závisí na čase. Symboly q a  tedy opět změní svůj význam a vrátí se ke svým původním významům:  bude znamenat okamžitou polohu hmotného bodu v libovolném čase a  bude znamenat okamžitou rychlost hmotného bodu v libovolném čase.

To tedy znamená, že místo jednoho políčka filmu budeme opět sledovat celý promítaný film.

Vztah (24) tedy můžeme psát ve tvaru

(26)

a vztah (25) ve tvaru

.(27)

Nyní vyčíslíme výraz  a s využitím vztahů (26) a (27) získáme výraz . Vzhledem k tomu, že platí , dostáváme

.(28)

Na základě vztahu (28) je možné definovat tzv. zobecněnou sílu, která udává průmět síly působící na hmotný bod do směru zobecněné souřadnice.

Zobecněná síla  je definována vztahem

.(29)

Zobecněná síla nemusí být silou v pravém slova smyslu. Pokud bude mít q význam vzdálenosti, pak  a Q je přímo síla. Zobecněnou souřadnicí q ovšem může být i např. úhel nebo jiná fyzikální veličina. V tom případě je význam Q jiný (moment sil, …).

Nyní můžeme již formulovat Lagrageovu rovnici II. druhu.

Lagrangeova rovnice II. druhu, která popisuje pohyb jednoho hmotného bodu o hmotnosti  po úsečce, se nazývá rovnice

,(30)

 je kinetická energie hmotného bodu,  je zobecněná souřadnice a  je zobecněná rychlost.


© Převzato z http://fyzika.jreichl.com, úpravy a komerční distribuce jsou zakázány; Jaroslav Reichl, Martin Všetička