Pohyb jedné částice po úsečce
Při odvozování pohybového zákona, který využívá zobecněné souřadnice v konfiguračním prostoru, začneme nejjednodušším případem: pohybem jedné částice (jednoho hmotného bodu) o hmotnosti m po úsečce (viz obr. 29). Tento systém bude obecně popsán holonomními reonomními vazbami.
 |
| Obr. 29 |
Trajektorii hmotného bodu tedy popíšeme obecně funkcí
 . | (20) |
Místo vektorů, které používala při popisu pohybu hmotného bodu Newtonova mechanika, použijeme skalární fyzikální veličiny. Jednou z vhodných skalárních veličin je kinetická energie hmotného bodu, která je definována vztahem
 . | (21) |
Vztah (21) lze přepsat ve tvaru 
. Uvědomíme-li si, že souřadnice popisující polohu hmotného bodu závisí na čase podle vztahu (20), můžeme kinetickou energii psát ve tvaru
 | (22) |
a pro další výpočty je důležité si uvědomit, že kinetická energie je závislá na čase. Nyní ovšem vyšetříme chování této funkce v určitém vybraném čase 
. Tento čas je ale vybrán libovolně, takže následující úvaha platí pro libovolný čas t. Přepíšeme vztah (22) přesněji:
 , | (23) |
kde 
je okamžitá poloha hmotného bodu a 
je okamžitá rychlost, kterou se hmotný bod v čase pohybuje. Vztahem (23) jsme přešli od k 
, tj. od časové derivace zobecněné souřadnice k zobecněné rychlosti. Od této chvíle jsou tedy q a nezávislé parametry.
Právě provedenou úvahu se „zastavením času“ si lze představit tak, že z pohybu, který natočíme na film, nás bude zajímat jen jedno políčko vyvolaného filmu. A bude to právě to políčko, které bylo zaznamenáno v čase .
Nyní určíme výrazy 
a 
:
 | (24) |
a
 . | (25) |
Pro jednoduchost jsme ve výrazech (24) a (25) nepsali argumenty u zadaných funkcí. Vztahy (24) a (25) jsou platné v každém časovém okamžiku, platí podél celé trajektorie, po níž se hmotný bod pohybuje. Proto nyní můžeme opět přejít k rovnicím, které závisí na čase. Symboly q a tedy opět změní svůj význam a vrátí se ke svým původním významům: 
bude znamenat okamžitou polohu hmotného bodu v libovolném čase a 
bude znamenat okamžitou rychlost hmotného bodu v libovolném čase.
To tedy znamená, že místo jednoho políčka filmu budeme opět sledovat celý promítaný film.
Vztah (24) tedy můžeme psát ve tvaru
 | (26) |
a vztah (25) ve tvaru
 . | (27) |
Nyní vyčíslíme výraz 
a s využitím vztahů (26) a (27) získáme výraz 
. Vzhledem k tomu, že platí 
, dostáváme
 . | (28) |
Na základě vztahu (28) je možné definovat tzv. zobecněnou sílu, která udává průmět síly působící na hmotný bod do směru zobecněné souřadnice.
Zobecněná síla 
je definována vztahem
 . | (29) |
Zobecněná síla nemusí být silou v pravém slova smyslu. Pokud bude mít q význam vzdálenosti, pak 
a Q je přímo síla. Zobecněnou souřadnicí q ovšem může být i např. úhel nebo jiná fyzikální veličina. V tom případě je význam Q jiný (moment sil, …).
Nyní můžeme již formulovat Lagrageovu rovnici II. druhu.
Lagrangeova rovnice II. druhu, která popisuje pohyb jednoho hmotného bodu o hmotnosti 
po úsečce, se nazývá rovnice
 , | (30) |
je kinetická energie hmotného bodu, 
je zobecněná souřadnice a je zobecněná rychlost.