Vlastnosti kanonických transformací

Kanonické transformace mají některé zajímavé vlastnosti, které jsou užitečné i při řešení úloh.

Generující funkce , ,  a  kanonické transformace nejsou nezávislé, ale jsou navzájem svázány Legendreovou duální transformací. Tu odvodil francouzský matematik Adrien-Marie Legendre (1752 - 1833), který se zabýval hlavně statistikou, teorií čísel, algebrou a matematickou analýzou.

Vzájemná provázanost funkcí , ,  a , z nichž funkce  je dána (resp. určena výpočtem), je popsána těmito vztahy

,  a .

(212)

Místo toho, že všechny další funkce budeme vyjadřovat pomocí funkce  (vztahy (212)), lze vyjádřit zbývající funkce např. pomocí funkce .

Na kterém řádku tab. 1 začneme s vyjadřováním, je jedno. Všechny její řádky jsou navzájem ekvivalentní.

Vztahy (212) jsou analogické vztahům, které v termodynamice popisují přechody mezi jednotlivými potenciály popisujícími daný fyzikální systém.

Další vlastností, na základě které se práce s kanonickými transformacemi zjednoduší, je skutečnost, že tyto transformace tvoří grupu.

Kanonické transformace tvoří grupu.

Jakmile o nějaké struktuře dokážeme, že tvoří grupu, je okamžitě jasné, že musí splňovat základní vlastnosti, které grupa prostě mít musí. Tak se mnohdy zjednoduší i fyzikální pohled na danou problematiku. Z faktu, že kanonické transformace tvoří grupu, vyplývá:

1.     existence jednotkového prvku;

To je transformace, která nedělá nic - původní zobecněné souřadnice a kanonické hybnosti se nezmění.

2.     existence inverzního prvku;

3.     možnost skládání kanonických transformací.

Identita je generována funkcí . Na základě tab. 1 dostáváme  a  a výpočtem derivací podle předpisu funkce  máme  a . Transformace popsaná funkcí  je tedy kanonická, jestliže platí  a zároveň . Neexistuje funkce  ani funkce , které by generovaly identitu. Vztahy (212) sice platí obecně, ale nemusí platit u některých výjimečných kanonických transformací - např. u identity.