Problém dvou těles

Uvažujme nyní pohyb dvou těles o srovnatelných hmotnostech  a , jejichž polohy jsou popsány polohovými vektory  a  (viz obr. 47).

Takovými tělesy může být např. dvojice Země - Měsíc, Pluto - Cháron, dvojhvězda, …

Obr. 47

Systém má celkem 6 stupňů volnosti (na každé těleso připadají 3 stupně volnosti) a budeme uvažovat pouze vzájemné silové působení (nebudeme tedy započítávat např. vliv centra uvažovaného centrálního pole).

Tři stupně volnosti připadající na každé těleso odpovídají tomu, že každé z těles se může pohybovat ve třech navzájem nezávislých směrech.

Můžeme tedy napsat lagrangián této situace ve tvaru

.

(121)

Tento tvar lagrangiánu ale není příliš vhodný pro další výpočty - zobecněné souřadnice  a  nejsou zvoleny nejlépe. Lepší volba by byla zvolit relativní souřadnice  a , kde  je poloha těžiště systému uvažovaných těles a  je relativní poloha těles vůči sobě (viz obr. 48). Převodní vztahy tedy jsou

a .

(122)

Obr. 48

Na základě vztahů (122) (tj. řešením soustavy rovnic pro neznámé  a ) získáme:

a .

(123)

Dosazením rovnic (123) do lagrangiánu ve tvaru (121) dostaneme lagrangián ve tvaru

,

(124)

který nezávisí na zobecněné souřadnici R. To ovšem znamená, že

(125)

je integrál pohybu. Konkrétně vztah (125) je vyjádřením zákona zachování hybnosti. Jestliže se ovšem zachovává hybnost, nepůsobí na uvažovanou soustavu těles okolní tělesa silou a soustava sama se pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem. Proto se rovnoměrně přímočaře pohybuje i těžiště T soustavy uvažovaných těles. Bez újmy na obecnosti tedy můžeme vyšetřovat pohyb těles o hmotnostech  a  v těžišťové soustavě. To ovšem znamená, že .

V těžišťové soustavě se totiž těžiště nepohybuje.

Skutečnost, že si můžeme zvolit libovolnou vztažnou soustavu, v níž budeme pohyb vyšetřovat, vyplývá z relativnosti pohybu a Galileiho transformace mezi dvěma soustavami souřadnic.

Vyjádření (123) původních vektorů  a  v závislosti na nově zvolených zobecněných souřadnicích  a  se tedy zjednoduší:

a .

(126)

Tím se podařila redukce původní úlohy na úlohu jednodušší, jejíž lagrangián bude mít tvar

,

(127)

kde

(128)

je tzv. redukovaná hmotnost. Tím jsme získali úlohu, která je analogická jako Keplerova úloha: jedná se o pohyb tělesa s hmotností  v centrálním silovém poli tělesa o hmotnosti  (viz obr. 49). Platí tedy i závěry vyplývající z řešení Keplerovy úlohy (tj. např. Keplerovy zákony), ale je nutné vše přeformulovat pomocí nových proměnných, pomocí nových hmotností  a .

Obr. 49

Skutečnost, že máme dvě tělesa o hmotnostech  a , vyplývá z lagrangiánu zapsaného ve tvaru (127), do jehož druhého členu můžeme též dosadit ze vztahu (128). Dostaneme tak

.

(129)