Moment setrvačnosti

Už z úvodní motivace ke studiu dynamiky tuhého tělesa je zřejmé, že tenzor setrvačnosti I souvisí s momentem setrvačnosti. Budeme se tedy snažit nalézt vztah mezi složkami tenzoru setrvačnosti  a momentem setrvačnosti .

Moment setrvačnosti  tuhého tělesa budeme uvažovat vůči dané ose, kolem níž se tuhé těleso otáčí a která je určená jednotkovým vektorem .

Obr. 65

Situace je zobrazená na obr. 65. Na obr. 66 je pak zobrazen detailnější rozbor situace, který budeme potřebovat pro další odvození. Symbolem  je označena kolmá vzdálenost elementu tuhého tělesa o objemu  (resp. o hmotnosti ) od osy otáčení.

Kinetickou energii T tuhého tělesa chceme vyjádřit ve tvaru

(276)

a přitom víme, že platí vztah (271). Na základě vztahu (243), který byl odvozen při vyšetřování rotace tuhého tělesa kolem pevné osy (rotace s pevnou osou), víme, že vektor úhlové rychlosti  má směr osy otáčení tuhého tělesa. V našem případě tedy platí

.

(277)

S využitím vztahu (277) lze vztah (271) psát ve tvaru  a tedy

.

(278)

Porovnáním vztahů (276) a (278) dostáváme vyjádření pro moment setrvačnosti  ve tvaru

.

(279)

Složky tenzoru setrvačnosti jsou definovány integrálem (268), který je vypočítán na základě charakteristik tuhého tělesa (hmotnost, rozložení látky v tuhém tělese, hustota tuhého tělesa, …). Tenzor setrvačnosti je tedy určen pouze na základě charakteristik tuhého tělesa a nezávisí na volbě osy, kolem které se tuhé těleso otáčí. Na volbě této osy závisí až moment setrvačnosti  definovaný vztahem (279). To je ovšem velmi příjemné pro praktické počítání.

Spočítáme totiž jeden integrál a momenty setrvačnosti daného tělesa vzhledem k libovolné ose, kolem které se toto tuhé těleso otáčí, dopočítáme již sčítáním podle vztahu (279).

A nebo lze v případě tuhých těles velmi nepravidelných tvarů, u kterých by byl výpočet tenzoru setrvačnosti podle vztahu (268) komplikovaný, postupovat obráceně. Experimentálně určit momenty setrvačnosti tělesa rotujícího podle hlavních os a na základě toho určit tenzor setrvačnosti. Ten pak můžeme použít k výpočtu momentu setrvačnosti v případě, že tuhé těleso rotuje kolem libovolné osy.

Obr. 66

Dosazením definičního vztahu tenzoru setrvačnosti (268) do definičního vztahu momentu setrvačnosti (279) dostaneme . Uvědomíme-li si, že osa rotace je charakterizovaná jednotkovým vektorem , můžeme pokračovat v rozpisu vztahu dále (i s využitím obr. 66) . Pro moment setrvačnosti tedy dostáváme

,

(280)

což je běžný vztah definující moment setrvačnosti tuhého tělesa.

Abychom získali další souvislosti pro praktické výpočty a praktické použití momentu setrvačnosti, upravíme definiční vztah (279) momentu setrvačnosti tak, že jej vydělíme momentem setrvačnosti . Získáme tak výraz . Pokud nadefinujeme pomocný vektor  vztahem

(281)

můžeme psát

.

(282)

Vektor  definovaný vztahem (281) má směr osy rotace tuhého tělesa (ta je daná směrem vektoru ), ale jeho velikost je obecně od vektoru  různá (viz obr. 67). V bázi hlavních os tedy můžeme vztah (282) upravit na tvar . Další matematickou úpravou získáme tvar

,

(283)

což je rovnice elipsoidu zapsaná v prostoru . Tento elipsoid se nazývá elipsoid setrvačnosti a jeho hlavní poloosy mají délky ,  a .

Hlavní osy jsou většinou kolmé na roviny symetrie uvažovaného tuhého tělesa.

Obr. 67

V každém tuhém tělese tedy existují hlavní osy. To znamená, že každému tuhému tělesu lze abstraktně opsat elipsoid setrvačnosti, který v nějakém bodě protíná osu, kolem které tuhé těleso rotuje a která je určená vektorem . Průsečík elipsoidu setrvačnosti a osy rotace tuhého tělesa má souřadnice , tj. polohový vektor tohoto průsečíku je vektor . Velikost tohoto vektoru je . S využitím definice vektoru  ve tvaru (281) můžeme psát . Vektor  byl ovšem zvolen jako jednotkový, takže můžeme psát  a po úpravě dostáváme

.

(284)

Moment setrvačnosti  tuhého tělesa, který charakterizuje otáčení tohoto tělesa kolem osy dané vektorem , tedy určujeme pomocí průsečíku této osy s abstraktním elipsoidem setrvačnosti. To znamená, že moment setrvačnosti  se spojitě mění v závislosti na spojité změně polohy osy rotace tuhého tělesa.

Při změně polohy osy rotace se změní směr vektoru  a tedy se změní průsečík této osy s elipsoidem setrvačnosti. Změna souřadnic  tohoto průsečíku vede (podle vztahu (284)) ke změně momentu setrvačnosti tělesa.

Je-li osou rotace tuhého tělesa např. první hlavní osa (tj. je-li ), lze vztah (284) s využitím předchozích informací psát ve tvaru . Tedy relativně obtížně definovaný tenzor setrvačnosti nyní přináší velké výhody při jednoduchém a rychlém určování momentu setrvačnosti .

Další zjednodušení tenzoru setrvačnosti I (a tedy i následný výpočet momentu setrvačnosti) přinášejí symetrie tuhého tělesa:

1.     tuhé těleso je rotační těleso - pak platí  a elipsoid setrvačnosti má tvar podobný tvaru na obr. 68;

2.     tuhé těleso je koule -  a elipsoidem setrvačnosti je sféra; navíc v tomto případě je moment setrvačnosti  konstantní pro všechny osy, které procházejí těžištěm tuhého tělesa (tj. uvažované koule);

3.     tuhé těleso je krychle - ta je symetrická a její hlavní osy jsou kolmé na její stěny. Proto je moment setrvačnosti  stejný pro všechny osy krychle procházející jejím těžištěm. Elipsoidem setrvačnosti krychle je sféra.

 

Obr. 68