Metody řešení Lagrangeových rovnic

Lagrangeovy rovnice druhého druhu (41) resp. (47) jsou obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu, které je možno řešit různými způsoby:

1.     numericky pomocí počítače - výpočet je ale nutné pečlivě kontrolovat, abychom získali skutečně správná řešení rovnic i z fyzikálního hlediska;

2.     použitím zjednodušujících aproximací (většinou linearizace problému a tedy i řešených rovnic) - nutno provádět pouze za určitých předpokladů a fyzikálně korektně (např. řešení pohybových rovnic matematického kyvadla);

3.     exaktní řešení pomocí tzv. prvních integrálů (integrálů pohybu).

Lagrangeovy rovnice často samy dávají návod, jak je řešit. Pokud zavedeme integrály pohybu, zjednodušíme si řešení rovnic.

Každý integrál pohybu se totiž pomůže zbavit jedné tečky v derivaci funkce.

Integrál pohybu je výraz tvaru

,

(80)

který v každém okamžiku nabývá stejné hodnoty (konstantní hodnoty), když ho vyčíslíme podél libovolné trajektorie popsané rovnicí  (pro ), která řeší pohybové rovnice.

Do vztahu (80) tedy dosadíme skutečné funkce  a  a hodnota tohoto výrazu pak bude tedy pořád stejná, tj.  Jinými slovy  platí pro každou trajektorii, která je dána svými počátečnými podmínkami.

Podél jiné trajektorie bude výraz (80) nabývat také konstantní hodnoty, ale bude to jiná konstanta, než u předešlé trajektorie.

Před dalším tvrzením, které usnadní výpočty Lagrangeových rovnic druhého druhu, zavedeme pojem cyklická souřadnice.

Zobecněná souřadnice, na které nezávisí Lagrangeova funkce (48), se nazývá cyklická souřadnice.

A nyní již uvedeme zmiňované tvrzení.

Pokud Lagrangeova funkce (48) nezávisí na některé zobecněné souřadnici , pak výraz  je integrálem pohybu.

Důkaz tohoto tvrzení je snadný: z  Lagrangeových rovnic druhého druhu vezmeme i-tou rovnici . Podle předpokladu tvrzení nezávisí Lagrangeova funkce na souřadnici , tedy . Po dosazení do i-té Lagrangeovy rovnice získáme  a tedy  Proto , kde f je integrál pohybu (80).

Příklad: Určete integrály pohybu v langrangiánu .
Řešení: Lagrangián závisí v tomto případě na kartézských souřadnicích x, y a z. Ovšem na x a na y nezávisí explicitně (závisí na časových derivacích těchto souřadnic). Proto jsou souřadnice x a y cyklické souřadnice a tedy máme dva integrály pohybu:  a , pro které platí  a  Tedy x-ová a y-ová složka hybnosti se zachovává.

Dalším integrálem pohybu je tzv. zobecněná energie.

Pokud Lagrangeova funkce (48) nezávisí explicitně na čase , pak výraz

,

(81)

který se nazývá zobecněná energie (Jacobiho integrál), je integrálem pohybu.

Má-li být výraz (81) integrálem pohybu, pak podle podmínky (80) musí platit  Tuto rovnost nyní dokážeme. Pokud má být , musí být . Proto nyní určíme úplnou časovou derivaci (81). Získáme: , kde . Po úpravě získáme . Uvědomíme-li si, že platí  (jedná se o Lagrangeovy rovnice druhého druhu (viz (47)) a že  (podle předpokladu definice zobecněné energie (81)), pak .

Příklad: Určete integrály pohybu v langrangiánu .
Řešení: Vzhledem k tomu, že napsaný lagrangián nezávisí explicitně na čase, můžeme definovat zobecněnou energii pomocí vztahu (81): . Po dosazení a po postupných úpravách dostaneme: .
V tomto SPECIÁLNÍM PŘÍPADĚ jsme tedy získali , tj. zákon zachování mechanické energie. Obecně ovšem zobecněná energie nemusí být vyjádřením zákona zachování energie. V tomto případě je to důsledek speciální podoby lagrangiánu.

Přesto je zobecněná energie h v některých případech rovna celkové mechanické energii systému.

Zobecněná energie definovaná vztahem (81) je zákonem zachování mechanické energie tehdy, když se jedná o pohyb hmotného bodu v poli konzervativních sil, které jsou omezeny holonomními a skleronomními vazbami.

Reonomní vazby totiž energii systému dodávají nebo odebírají.

Důkaz tohoto tvrzení provedeme rozpisem kinetické energie T a následným dosazením do vztahu (81).

Pro kinetickou energii soustavy N hmotných bodů platí: . Vzhledem k tomu, že  (podle podmínky (31)) pro  a  (n je počet stupňů volnosti), můžeme psát . Po úpravách, při kterých zaměníme také pořadí sčítanců, dostaneme . Označíme-li , můžeme pro kinetickou energii můžeme psát: . Nyní už lze na základě vztahu (81) psát zobecněnou energii: .

V poslední sumě se derivuje pouze kinetická energie T, protože potenciální energie V nezávisí na žádné zobecněné rychlosti .

Dosazením z rozepsané kinetické energie získáme: . S využitím zavedené kinetické energie lze tedy psát:

Tím je důkaz ukončen.