Hamiltonián v dalších oborech fyziky

Hamiltonián je velmi důležitý pro kvantovou fyziku, kde se z něho stává operátor, je důležitý pro statistickou fyziku, pro teorii relativity, …

V kvantové mechanice je pohybovou rovnicí, pomocí níž se vyšetřuje řada úloh, Schrödingerova rovnice ve tvaru

,

(196)

kde i je imaginární jednotka,  je tzv. redukovaná Planckova konstanta,  je Hamiltonův operátor a  je vlnová funkce, jejíž druhá mocnina udává pravděpodobnost výskytu dané částice, pro níž se Schrödingerova rovnice řeší. Hamiltonův operátor má v kvantové fyzice tvar

,

(197)

kde symbol  označuje Laplaceův operátor.

Další fyzikální teorií, která využívá Hamiltonovu funkci, je kvantová teorie pole. Je to teorie, v níž se kvantuje celé pole rozložením do rovinných vln. Interakce jednotlivých vln se pak znázorňují pomocí tzv. Feynmanových diagramů.

Hamiltonovy rovnice jsou důležité i pro statistickou fyziku, která tvoří přechod mezi mechanikou a termodynamikou. Vzhledem k tomu, že se zabývá systémy, které obsahují řádově  částic, není možné popisovat jednotlivé částice. Proto se hledají a počítají ve fázovém prostoru fyzikální veličiny, u nichž lze určit střední hodnoty charakterizující celý uvažovaný systém. Tak získáme informace o teplotě, vnitřní energii, …