Harmonický oscilátor

Harmonický oscilátor je velmi důležitý pojem nejen pro teoretickou fyziku a mechaniku, ale i pro další obory fyziky. Pomocí harmonického kmitání lze totiž modelovat řadu fyzikálních jevů, protože pohyb harmonického oscilátoru je jednoduchý, je popsán relativně jednoduchými rovnicemi a přitom jej lze použít k velmi přesnému modelování složitějších fyzikálních jevů a dějů (přenos tepla, vysvětlení měrné tepelné kapacity látek, odvození vlnové rovnice, kmity atomů resp. částic popisovaných v rámci kvantové fyziky, …).

Chceme-li napsat Hamiltonovy kanonické rovnice popisující harmonický oscilátor, je nutné nejdříve napsat jeho lagrangián. Ten má tvar  a z něj vyplývající kanonická hybnost je dána vztahem . Pro výpočet hamiltoniánu je nezbytné vyjádřit všechny zobecněné rychlosti pomocí kanonických hybností, proto si připravíme vyjádření . Hamiltonián můžeme psát na základě jeho definice (173) ve tvaru . Výraz  má jednotku  a tedy platí alternativní vyjádření . Hamiltonián je tedy roven  a vyjadřuje celkovou mechanickou energii systému.

Vztah  neplatí obecně, ale pouze tehdy, nezávisí-li hamiltonián explicitně na čase. A tato podmínka je splněna ve většině vyšetřovaných případů.

Nyní můžeme napsat Hamiltonovy rovnice pro harmonický oscilátor tak, že dosadíme do vztahů (174). Dostaneme tedy  a . Máme tedy dvě lineární rovnice  a . Zderivujeme-li první z nich podle času, dostaneme:  a dosadíme do ní z druhé Hamiltonovy rovnice. Získáme tedy rovnici  a po úpravě , což je známá rovnice popisující pohyb harmonického oscilátoru. Její řešení lze psát ve tvaru , kde A je amplituda výchylky,  je úhlová frekvence kmitání harmonického oscilátoru a  je počáteční fáze kmitání.