Formulace a důkaz Hamiltonových kanonických rovnic

Hamiltonovy kanonické rovnice jsou rovnice ve tvaru

a

(174)

pro , kde  je počet stupňů volnosti daného systému.

Na základě vhodně zavedeného hamiltoniánu (173) jsou Hamiltonovy kanonické rovnice jednoduché a symetrické. Tyto rovnice, které Ir sir Rowan Hamilton odvodil v roce 1834, jsou soustavou 2n obyčejných diferenciálních rovnic s neznámými  a  pro . Uvedený tvar rovnic vyplývá ze symplektické struktury fázového prostoru, která zaručuje jednoznačný popis systému, správná znaménka v rovnicích, …

Přesto, že se v zápise Hamiltonvých rovnic objevují parciální derivace, jsou to rovnice obyčejné, tj. po úpravách budou obsahovat jen totální („normální“) derivace. Symbol  resp.  dává jen návod na sestavení pravé strany příslušné Hamiltonovy rovnice.

Nyní rovnice dokážeme; důkaz přitom provedeme dvakrát - jednou podle definice hamiltoniánu a podruhé pomocí Hamiltonova variačního principu.

Začneme důkazem první Hamiltonovy rovnice, který provedeme na základě definice hamiltoniánu (173). Pravou stranu první Hamiltonovy rovnice tedy rozepíšeme podle definice hamiltoniánu (173) s vyznačením proměnných, na nichž závisí zobecněná rychlost a lagrangián: . Nyní provedeme naznačenou derivaci a argumenty funkcí kvůli větší přehlednosti již vypisovat nebudeme: .

Derivace lagrangiánu podle  je rovna součinu derivace lagrangiánu podle  a derivace  podle , protože  je „schovaná“ právě v  ( závisí na ). Proto lagrangián derivujeme jako složenou funkci.

S využitím definice kanonické hybnosti (172) můžeme pokračovat v úpravách:  a tím je platnost první Hamiltonovy kanonické rovnice dokázána.

Analogicky můžeme pokračovat v důkazu druhé Hamiltonovy rovnice: . Po provedení derivace dostaneme rovnici, v níž opět už nebudeme vypisovat argumenty funkcí: . Opět s využitím vztahu (172) můžeme postupně psát . Vztah

(175)

je sice zajímavý, ale zatím to není ten vztah, jehož platnost jsme měli dokázat. Navíc zatím jsme využívali pouze matematické úpravy výrazů bez fyzikálního náhledu. Ten využijeme nyní: pravou stranu rovnosti (175) vyjádříme pomocí Lagrangeových rovnic druhého druhu (47). Dostaneme tak  (druhá úprava byla provedena na základě definice kanonické hybnosti (172)). Tím jsme dokázali i druhou Hamiltonovu kanonickou rovnici.

Ve druhém kroku dokážeme Hamiltonovy kanonické rovnice pomocí Hamiltonova variačního principu. Důkaz nebudeme provádět v Lagrangeově formalismu, ale v Hamiltonově formalismu. Definiční vztah hamiltoniánu (173) upravíme na tvar

.

(176)

Vyjdeme z podmínky (130). V ní vystupuje akce S, kterou vyjádříme pomocí definice (131) s přihlédnutím k lagrangiánu ve tvaru (176). Dostaneme tedy . Výraz  přitom můžeme interpretovat tak, že se zajímáme o změnu integrálu při změně funkcí, které integrujeme. Proto můžeme dále pokračovat v úpravách. Začneme diferencováním a dostaneme

.

(177)

Člen  ve výrazu (177) je nulový, protože jsme se omezili na izochronní variace. Dále upravíme výraz , který je též částí výrazu (177). S využitím identity (136) a následným použitím metody per-partes můžeme psát: . Vzhledem k tomu, že uvažujeme izochronní variace s pevnými konci, platí podmínka (132) a tedy . Nyní dosadíme do výrazu (177) a dostaneme . Po úpravě tedy máme

.

(178)

Všechny variace  a  pro  ze vztahu (178) jsou dovolené a navzájem nezávislé. To ovšem znamená, že vztah (178) je splněn pouze tehdy, když  a  pro . To je ovšem vyjádření Hamiltonových kanonických rovnic (174), jejichž platnost jsme chtěli dokázat.

Na základě podmínky (130) jsme tedy odvodili další pohybové rovnice. Pomocí Hamiltonova variačního principu jsme odvodili z podmínky (130) Lagrangeovy rovnice druhého druhu, nyní ze stejné podmínky Hamiltonovy kanonické rovnice. Podmínka (130) má tedy hlubší význam.