Síly, které mají zobecněný potenciál

Nyní budeme předpokládat, že

,

(67)

tj. potenciální energie V závisí i na zobecněné rychlosti a na čase (na rozdíl od pole konzervativních sil). Přitom V je taková funkce, že splňuje vztah (46), ale v tomto případě obecně . Potom opět platí Lagrangeovy rovnice druhého druhu ve tvaru (47) a

.

(68)

Tato situace, v níž platí závislost (67), je v přírodě realizována pouze v případě elektromagnetismu. Zobecněný potenciál má Lorentzova síla působící na částici s elektrickým nábojem e, která se pohybuje rychlostí  v elektromagnetickém poli, jehož elektrická intenzita je  a magnetická indukce je .

Pro Lorentzovu sílu

(69)

existuje zobecněný potenciál ve tvaru

,

(70)

kde  je potenciál elektrického pole a  je vektorový potenciál. Pro tyto potenciály přitom platí

a .

(71)

Důkaz tvrzení, že zobecněný potenciál Lorentzovy síly lze definovat vztahem (70), spočívá v rozepsání rychlosti a vektorového potenciálu v kartézských souřadnicích a dosazení do vztahu (46). Výsledný vztah by měl popisovat Lorentzovu sílu danou vztahem (69).

Veličiny  a A je nutno chápat jako pomocné veličiny, které nejsou jednoznačné, protože je možné je přeškálovat a volit tak, aby počítání s nimi bylo pokud možno co nejjednodušší. Pokud se tyto veličiny dobře zvolí, zjednoduší se i výpočty v tom smyslu, že budeme mít méně rovnic k řešení. Měřitelnými veličinami jsou veličiny  a .

Velmi snadnou úpravou vztahů (71) lze získat vyjádření dvou Maxwellových rovnic. Platí totiž  a také  (identicky). Takže jsme získali dvě z Maxwellových rovnic:  a .

Maxwellovy rovnice elektromagnetického pole jsou tak obecné, že je možné s nimi počítat i ve speciální teorii relativity i v obecné teorii relativity bez výraznějších změn. Newtonův popis mechaniky takto obecný není a pro fyzikální popis v rámci teorie relativity je naprosto nevhodný a nepoužitelný.