Nabitá částice v elektromagnetickém poli

Další ilustrací použití Hamiltonových rovnic je jejich aplikace na vyšetřování pohybu částice s nábojem e, která se pohybuje v elektromagnetickém poli charakterizovaném skalárním potenciálem  a vektorovým potenciálem .

Lagrangeova funkce popisující pohyb nabité částice v elektromagnetickém poli (vzhledem ke vztahu (70), který definuje potenciální energii částice) má tvar

,

(191)

který je možné přepsat ve složkách vektorů  a  ve tvaru

.

(192)

Kanonické hybnosti, které odpovídají souřadnicím x, y a z, získáme derivací Lagrangeovy funkce podle zobecněné rychlosti příslušející dané souřadnici. Takže postupně dostáváme

,  a .

(193)

Z kanonických hybností můžeme vyjádřit příslušné zobecněné rychlosti a získáme

,  a .

(194)

Hamiltonián můžeme v tomto případě psát ve tvaru . Po dosazení ze vztahů (192), (193) a (194) postupně pro hamiltonián uvažované částice pohybující se v elektromagnetickém poli máme . Takže hamiltonián lze psát ve tvaru

(195)

a i v tomto případě je nezávislý na čase, takže .