Skládání rotací a vektorů úhlových rychlostí

Otáčení tělesa není obecně komutativní, ale skládání úhlových rychlostí komutativní je: vektory úhlových rychlosti se skládají lineárně.

Úhlové rychlosti se tedy skládají jako „normální“ vektory.

Provedeme důkaz uvedeného tvrzení. Uvažujme první ortogonální matici A, která je maticí přechodu od báze  k bázi  a popisuje první otočení tuhého tělesa. To znamená, že platí transformační vtah (226). Dále uvažujme druhou ortogonální matici B popisující druhé otočení tuhého tělesa, kterou lze považovat za matici přechodu od báze  k bázi  definovanou vztahem

.

(244)

Složením obou otočení získáme

,

(245)

kde matice C je definována vztahem

.

(246)

Vzhledem k tomu, že násobení matic není obecně komutativní, není obecně komutativní ani skládání otočení tuhého tělesa.

Nyní dokážeme, že vektory úhlové rychlosti se skládají lineárně. Vyjdeme z definice (236) matice  a pro matici  popisující úhlovou rychlost otáčení tuhého tělesa charakterizovanou maticí C můžeme psát . S využitím vztahu (246) dále postupnými úpravami dostáváme . Ze vztahu (228) vyplývá, že , kde E je jednotková matice. Proto můžeme dále psát . V poslední úpravě jsme využili opět definiční vztah matice  resp. . Uvědomíme-li si, že matice  popisuje transformaci matice A z báze  do báze , můžeme napsat finální vztah ve tvaru

.

(247)

Čárky v indexech u matic konkretizují, v jaké bázi je příslušná matice definována.

Obecně tedy pro vektory úhlové rychlosti popisující otáčení tuhého tělesa kolem různých os platí

.

(248)