Pohyb jedné částice po úsečce

Při odvozování pohybového zákona, který využívá zobecněné souřadnice v konfiguračním prostoru, začneme nejjednodušším případem: pohybem jedné částice (jednoho hmotného bodu) o hmotnosti m po úsečce (viz obr. 29). Tento systém bude obecně popsán holonomními reonomními vazbami.

Obr. 29

Trajektorii hmotného bodu tedy popíšeme obecně funkcí

.

(20)

Místo vektorů, které používala při popisu pohybu hmotného bodu Newtonova mechanika, použijeme skalární fyzikální veličiny. Jednou z vhodných skalárních veličin je kinetická energie hmotného bodu, která je definována vztahem

.

(21)

Vztah (21) lze přepsat ve tvaru . Uvědomíme-li si, že souřadnice popisující polohu hmotného bodu závisí na čase podle vztahu (20), můžeme kinetickou energii psát ve tvaru

(22)

a pro další výpočty je důležité si uvědomit, že kinetická energie je závislá na čase. Nyní ovšem vyšetříme chování této funkce v určitém vybraném čase . Tento čas je ale vybrán libovolně, takže následující úvaha platí pro libovolný čas t. Přepíšeme vztah (22) přesněji:

,

(23)

kde  je okamžitá poloha hmotného bodu a  je okamžitá rychlost, kterou se hmotný bod v čase  pohybuje. Vztahem (23) jsme přešli od  k , tj. od časové derivace zobecněné souřadnice k zobecněné rychlosti. Od této chvíle jsou tedy q a  nezávislé parametry.

Právě provedenou úvahu se „zastavením času“ si lze představit tak, že z pohybu, který natočíme na film, nás bude zajímat jen jedno políčko vyvolaného filmu. A bude to právě to políčko, které bylo zaznamenáno v čase .

Nyní určíme výrazy  a :

(24)

a

.

(25)

Pro jednoduchost jsme ve výrazech (24) a (25) nepsali argumenty u zadaných funkcí. Vztahy (24) a (25) jsou platné v každém časovém okamžiku, platí podél celé trajektorie, po níž se hmotný bod pohybuje. Proto nyní můžeme opět přejít k rovnicím, které závisí na čase. Symboly q a  tedy opět změní svůj význam a vrátí se ke svým původním významům:  bude znamenat okamžitou polohu hmotného bodu v libovolném čase a  bude znamenat okamžitou rychlost hmotného bodu v libovolném čase.

To tedy znamená, že místo jednoho políčka filmu budeme opět sledovat celý promítaný film.

Vztah (24) tedy můžeme psát ve tvaru

(26)

a vztah (25) ve tvaru

.

(27)

Nyní vyčíslíme výraz  a s využitím vztahů (26) a (27) získáme výraz . Vzhledem k tomu, že platí , dostáváme

.

(28)

Na základě vztahu (28) je možné definovat tzv. zobecněnou sílu, která udává průmět síly působící na hmotný bod do směru zobecněné souřadnice.

Zobecněná síla  je definována vztahem

.

(29)

Zobecněná síla nemusí být silou v pravém slova smyslu. Pokud bude mít q význam vzdálenosti, pak  a Q je přímo síla. Zobecněnou souřadnicí q ovšem může být i např. úhel nebo jiná fyzikální veličina. V tom případě je význam Q jiný (moment sil, …).

Nyní můžeme již formulovat Lagrageovu rovnici II. druhu.

Lagrangeova rovnice II. druhu, která popisuje pohyb jednoho hmotného bodu o hmotnosti  po úsečce, se nazývá rovnice

,

(30)

 je kinetická energie hmotného bodu,  je zobecněná souřadnice a  je zobecněná rychlost.