Dopplerův jev

Tak jako dochází ke změně frekvence (resp. vlnové délky) u mechanického vlnění (např. u zvuku) díky vzájemnému pohybu zdroje vlnění a přijímače vlnění, analogicky dochází k této změně i pro světlo. Uvažujme tedy vysílač V světelného vlnění, který se bude vůči přijímači P pohybovat rychlostí . Vzhledem k tomu, že během odvozování budeme potřebovat také tzv. radiální rychlost vysílače vůči přijímači, zavedeme tento pojem již nyní. Radiální rychlost  je složka rychlosti , která míří ve směru spojnice vysílače a přijímače (viz obr. 26).

Označme  frekvenci světelného vlnění, které vysílá vysílač, a  frekvenci světelného vlnění, které přijímá přijímač. Situaci budeme sledovat z hlediska přijímače P.

Obr. 26

V teorii relativity bývá zvykem značit frekvenci symbolem  („ný“) namísto běžného f. Tato změna značení snad nebude na závadu v pochopení dalšího textu.

Vysílač V vyšle dva signály, které vyšle v časovém odstupu jedné periody světelného vlnění. Přijímač bude tyto dva signály přijímat rovněž v časovém odstupu jedné periody, která bude tentokráte měřena na přijímači.

První signál vyslaný vysílačem v čase  přijme přijímač v čase , kde l je vzdálenost vysílače a přijímače v okamžiku příjmu prvního signálu. Druhý signál vyšle vysílač v čase , přijímač jej přijme v čase . (Zde předpokládáme, že se vysílač během doby  posune o malou vzdálenost, kterou lze vyjádřit pomocí radiální rychlosti bez přepočtu na směr jeho pohybu.)  Pro časový rozdíl mezi přijetím prvního a druhého signálu přijímačem P dostáváme:  a tedy . Vzhledem k tomu, že  je doba mezi přijetím prvního a druhého signálu, platí .

Dosud provedené odvození lze aplikovat i na klasickou mechaniku (např. na zvukové vlnění) - speciální teorie relativity zatím nebyla použita.

Situaci popisujeme z hlediska přijímače a víme, že vysílač se pohybuje rychlostí, jejíž velikost je srovnatelná s velikostí rychlosti světla ve vakuu. Proto musíme brát v úvahu relativistické vlivy. Z hlediska přijímače P uplyne mezi vysláním prvního a druhého signálu vysílačem V doba , což je převrácená hodnota frekvence vysílače, tj. .

Srovnáním zatím odvozených vztahů, můžeme tedy psát:  a tedy dostáváme vztah pro relativistický Dopplerův jev: .

V případě, kdy se bude vysílač přibližovat k přijímači ve směru jejich spojnice, bude platit    a dojde tedy k posunu k fialovému konci spektra.

Pokud se bude vysílač vzdalovat od přijímače ve směru jejich spojnice, dostaneme . Světlo přijaté přijímačem bude posunuto směrem k červenému okraji spektra.

Toto „rychlé odvození“ lze udělat tak, že místo v budeme psát , protože se vysílač pohybuje na opačnou stranu.

Zajímavý případ nastane, pokud se bude vysílač pohybovat kolmo na spojnici vysílače a přijímače. V tom případě totiž  a z odvozeného vztahu pro Dopplerův jev dostaneme: , což je tzv. transverzální Dopplerův jev. Transverzální Dopplerův jev se v klasické mechanice nevyskytuje, neboť je dán pouze dilatací času.

V klasické mechanice by se jednalo o situaci, kdy se např. pohybuje zdroj zvuku ve směru kolmém na spojnici zdroje zvuku a pozorovatele. Dopplerův jev v tomto případě nenastává.