Chladnutí kávy - přímý výpočet

Hledání přesného řešení dané závislosti znamená řešit diferenciální rovnici, kterou získáme ze vztahu (3) tak, že od konečného rozdílu fyzikálních veličin  a  přejdeme k příslušným diferenciálům. Získáme tedy diferenciální rovnici ve tvaru

,

(4)

kterou můžeme řešit pomocí metody zvané separace proměnných. Proměnné převedeme v rovnici (4) na stejnou stranu rovnice, jako stojí příslušné diferenciály, a konstanty převedeme také na jednu stranu rovnice. Dostaneme tak rovnici

.

(5)

Tuto rovnici formálně zintegrujeme, čímž jí převedeme do tvaru:

.

(6)

Po zintegrování rovnice (6) získáme vztah

,

(7)

kde C je integrační konstanta, která v tomto případě určuje počáteční podmínky řešené úlohy.

Definiční vztah funkce přirozený logaritmus, která vystupuje ve vztahu (7), je v pořádku, neboť během celého popisovaného děje je , a tedy . Káva tedy v konečném čase nedosáhne teploty okolí; to okomentujeme ještě níže.

Vztah (7) vyjádříme pomocí ekvivalentního tvaru  resp. tvaru

,

(8)

kde  je konstanta. Tuto konstantu K určíme na základě počátečních podmínek: v čase  měla káva teplotu . Můžeme tedy dosadit do vztahu (8) a psát: . Pro konstantu K tedy dostáváme:

.

(9)

Dosazením vztahu (9) do vztahu (8) získáme hledanou závislost okamžité teploty kávy na čase ve tvaru

.

(10)

Závislost popsaná vztahem (10) je zobrazená spolu s naměřenými daty na obr. 8.

Obr. 8

Rychlý fyzikální odhad faktu, že závislost popsaná vztahem (10) odpovídá realitě, můžeme ověřit pomocí krajních hodnot času. Pro  dostáváme , tj. káva má počáteční teplotu. Pro teplotu kávy po dostatečně dlouhé době od počátku jejího chladnutí, tj. pro  a tedy , dostáváme . Káva dosáhne teploty okolí tedy až po nekonečně dlouhé době.

Ve skutečnosti každý teploměr, kterým budeme teplotu kávy měřit, má určitou přesnost měření, a proto pomocí něj naměříme teplotu kávy rovnou teplotě okolí již v konečném čase.