Chladnutí kávy - přilití mléka

S problémem chladnutí kávy souvisí i další problém, který v běžném životě občas řešíme. Uvaříme si kávu a do odchodu z domova nám zbývá doba . Na stole stojí mléko, které má stejnou teplotu jako okolí, tj. teplotu . Kdy je třeba nalít mléko do kávy, aby se teplota směsi kávy s mlékem co nejvíce snížila a bylo možné jí vypít?

Předpokládejme, že káva má teplotu t, která je dána vztahem (10), hmotnost m a měrnou tepelnou kapacitu c. Počáteční teplota mléka je , jeho hmotnost  a měrná tepelná kapacita je . Teplota, na kterou se směs kávy s mlékem ochladí, je .

S využitím kalorimetrické rovnice tedy můžeme psát:

.

(16)

Pomocí matematických úprav vyjádříme hledanou výslednou teplotu . Rovnici (16) proto nejdříve roznásobíme, čímž získáme tvar . Po převedení členů s neznámou  na jednu stranu rovnice dostaneme rovnici ve tvaru . Odtud již získáme hledaný vztah pro teplotu  výsledné směsi ve tvaru

.

(17)

Vztah (17) není pro další úvahy v nejlepším možném tvaru. Proto provedeme matematické úpravy tak, abychom jej získali v lepším tvaru. Nejdříve ke stávajícímu čitateli přičteme a odečteme výraz . Tím získáme pro výslednou teplotu vztah . Nyní vytkneme výrazy tak, abychom v čitateli získali rozdíl teplot : . Po rozdělení na dva zlomky a zkrácení, získáme vztah

.

(18)

Vztah (18) (stejně tak s ním ekvivalentní vztah (17)) popisují výslednou teplotu směsi kávy a mléka. Přitom teplota t je teplota samotné kávy před přilitím mléka. A tato teplota je dána vztahem (10). Proto nyní dosadíme vztah (10) do vztahu (18) a získáme: . Po úpravě tedy máme:

.

(19)

Od tohoto okamžiku (tj. po přilití mléka do kávy) bude chladnout nejen káva, ale i mléko. Proto musíme vztah (19) opravit o tuto skutečnost. Káva spolu s mlékem bude chladnout po dobu , proto můžeme psát:

.

(20)

Samotná káva chladla po dobu , na celé chladnutí kávy včetně dolitého mléka máme celkovou dobu .

Při opravě vztahu (19) na vztah (20) jsme upravili i exponent exponenciální funkce. Konstantu  jsme nahradili konstantou , protože už se neochlazuje jen káva, ale také mléko. A při dolévání mléka se mohla změnit např. i plocha povrchu kapaliny, … - proto je použita i konstanta  místo konstanty k.

Abychom mohli provést další fyzikální rozbor, upravíme exponenciální funkce ze vztahu (20): . Výhodou této úpravy je to, že činitel  nezávisí na čase; doba, která zbývá od zalití kávy do jejího vypití (tj. doba ) je konstantní. Vztah (20) můžeme tedy přepsat ve tvaru

.

(21)

Na základě vztahu (21) můžeme učinit tyto závěry:

Pokud bude platit , pak vztah (20) a tedy ani vztah (21) nezávisejí na čase. To by znamenalo, že mléko o stejné teplotě, jako je teplota okolí, by bylo možné do kávy přilít kdykoliv během doby . Výše uvedená rovnost ale neplatí. Zatímco konstanty k a  jsou téměř stejné (plocha povrchu kapaliny se dolitím mléka příliš nezmění), tak hmotnost mléka ani jeho měrná tepelná kapacita nejsou nulové.

Pokud by měla platit rovnost  a jsou-li konstanty k a  téměř stejné, pak by musel být součin  nulový. A to není fyzikálně možné!

Proto bude platit , tj. káva s mlékem chladne pomaleji než samotná káva. Proto je vhodné přilít mléko do kávy co nejpozději.

V popsané situaci závisí i na dalších vlivech, které průběh chladnutí ovlivní: způsob promíchání kávy s mlékem, odpařování z povrchu kapaliny, možnost použít chladnější mléko z chladničky a další fyzikální jevy. Nejvýznamnější vliv bude mít odpařování vody z povrchu kapaliny. Vypařování můžeme ovlivnit změnou tlaku páry nad kapalinou (snížení tlaku dosáhneme např. foukáním vzduchu nad hladinou kapaliny).