Převod desetinného čísla do dvojkové soustavy

Ve dvojkové soustavě, stejně jako v desítkové soustavě, je možné pracovat s desetinnými čísly. Pro převod desetinných čísel je nutné rozšířit definici vyjádření čísla v libovolné číselné soustavě i na kladná racionální čísla (tj. čísla vyjádřená desetinným rozvojem).

Pro plný popis záporných čísel ve dvojkové soustavě je nutné definovat dvojkový doplněk čísla.

Libovolné kladné racionální číslo  lze zapsat v číselné soustavě o základu , kde  je přirozené číslo větší než jedna, ve tvaru

,

(1)

kde .

Tato definice číselné soustavy není obecná, ale pro potřeby tohoto textu je dostatečná.

V našem případě budeme uvažovat pouze dvojkovou soustavu, tj. z = 2.

Ve srovnání s definicí vyjádření přirozeného čísla pomocí mocnin daného přirozeného čísla je vztah (1) definující kladné racionální číslo doplněn o členy obsahující záporné mocniny čísla z (základ dané číselné soustavy).

Racionální čísla se do dvojkové soustavy resp. do desítkové soustavy převádějí podobně jako přirozená čísla. Nejdříve ukážeme převod racionálního čísla ze dvojkové soustavy do desítkové soustavy - tento převod je jednodušší.

Jednotlivé cifry (tj. 0 nebo 1) v daném čísle vyjádřeném ve dvojkové soustavě udávají vlastně váhu, s jakou se do daného čísla započítává daná mocnina čísla 2. Stačí tedy pouze vyčíslit součet definovaný vztahem (1).

Převeďte do desítkové soustavy číslo . Postupně můžeme psát: .

Převod čísla z desítkové soustavy do dvojkové soustavy je složitější ve srovnání s právě popsaným převodem. Postup, u kterého nehrozí, že vzniknou chyby, je založen na postupném odčítání mocnin čísla 2. Pokud příslušný rozdíl je číslo nezáporné, zapíšeme do čísla ve dvojkové soustavě jedničku, je-li daný rozdíl záporný, zapíšeme do čísla ve dvojkové soustavě nulu.

Teoreticky mohou nastat tři případy:

1.     během postupného odečítání vyjde rozdíl roven nule - převod je v tomto případě u konce a zadané číslo je vyjádřené ve dvojkové soustavě přesně;

2.     během postupného odečítání a zapisování jedniček a nul do čísla ve dvojkové soustavě se začne určitá skupina číslic za desetinnou čárkou opakovat, což znamená, že desetinný rozvoj daného čísla ve dvojkové soustavě má určitou periodu;

3.     nenastává ani jeden z výše uvedených případů - dané číslo má v tomto případě ve dvojkové soustavě nekonečný neperiodický desetinný rozvoj.

Desetinný rozvoj čísla vyjádřeného v desítkové soustavě a desetinný rozvoj téhož čísla ve dvojkové soustavě může být principálně rozdílný. Např. číslo, které má v desítkové soustavě konečný desetinný rozvoj, může mít ve vyjádření ve dvojkové soustavě nekonečný neperiodický desetinný rozvoj.

Převeďte do dvojkové soustavy číslo 39,25. Budeme tedy postupně odčítat mocniny čísla 2, tj. v tomto případě začneme od čísla 32 a dále budeme odčítat čísla 16; 8; 4; 2; 1; 0,5; 0,25; 0,125; …

39,25 - 32 = 7,25 - píšeme tedy 1;

7,25 - 16 < 0 - píšeme tedy 0;

7,25 - 8 < 0 - píšeme tedy 0;

7,25 - 4 = 3,25 - píšeme tedy 1;

3,25 - 2 = 1,25 - píšeme tedy 1;

1,25 - 1 = 0,25 - píšeme tedy 1 a přecházíme za desetinnou čárku;

0,25 - 0,5 < 0 - píšeme tedy 0;

0,25 - 0,25 = 0 - píšeme tedy 1 a převod je hotov - na posledním místě jsme při postupném odečítání získali nulu.

Platí tedy: .