« »

Definice akce

Hamiltonův variační princip vychází z následujícího tvrzení:

Pohyb soustavy hmotných bodů v časovém intervalu  se děje tak, že platí

,(130)

kde  je tzv. funkcionál času definovaný vztahem

(131)

pro  (kde  je počet stupňů volnosti dané soustavy).  je přitom Lagrangeova funkce popisující danou soustavu.

Ve vztahu (131) symbol  znamená časovou derivace j-té zobecněné souřadnice, tj. . Dále je nutné si uvědomit, že do vztahu (131) se dosazuje konkrétní průběh jedné trajektorie, čímž se převede langrangeova funkce L, která obecně závisí na časovém průběhu zobecněné souřadnice , na časovém průběhu zobecněné rychlosti  a na čase, na funkci jedné proměnné - času.

Tedy místo  po dosazení konkrétní trajektorie, tj. průběhu , získáme .

S je tzv. funkcionál, tedy jakési zobrazení přiřazující dané hladké funkci reálné číslo.

Do výpočtu tedy vstupuje průběh závislosti polohy na čase popisující trajektorii (tj. funkce ) a výsledkem je číslo uložené v proměnné S.

Význam vztahu (130) je nutno chápat takto:

1.     Variace akce je nulová.

Variace („změna“) je označena symbolem , akce je pak označena symbolem S.

2.     Skutečná trajektorie, po níž se soustava pohybuje a jejíž tvar hledáme, je taková, že akce S pro tuto trajektorii nabývá stacionární hodnotu. To znamená, že první derivace S je nulová. Této hodnotě první derivace odpovídá buď extrém (lokální minimum nebo lokální maximum) a nebo inflexní bod (viz obr. 51).

Různým trajektoriím (různým funkcím ) jsou přiřazeny různé hodnoty S. Z těchto různých (hypotetických) trajektorií vybíráme tu skutečnou trajektorii, která má extremální hodnotu proměnné S.

Pro variační princip a z něj plynoucí výpočty je důležité, aby se průběh studované veličiny (akce S) na „chvilku zastavil“ - to se v ve všech případech zobrazených na obr. 51 skutečně stane.

Obr. 51

Reálné děje v přírodě se tedy vyvíjejí tak, že mají stacionární hodnoty akcí.

Příroda tedy vybírá takové stavy, které jsou: nejmenší, největší nebo podobné ostatním (tomuto stavu odpovídá inflexní bod).

Trajektorie, které nalezneme pomocí variačního principu, jsou přitom ty, které vyplývají z Lagrangeových rovnic (47) nebo z Newtonových rovnic.

Je zajímavé si všimnout jednotky akce S: . Stejnou jednotku přitom má i Planckova konstanta h. To není náhoda - pro Feynmanovský popis kvantové fyziky je důležitá veličina  odpovídající jakési fázi, pro kterou tak platí .

Právě definovaný přístup k řešení úloh není omezen jen na mechaniku. Tento princip lze aplikovat i na řešení úloh z elektromagnetického pole, z části kvantové fyziky a další polní teorie (obecná teorie relativity jako teorie gravitace, popis chování bosonů, popis chování fermionů, …). Základní princip popisu a hledání řešení zůstává stejný, mění se konkrétní veličina, pomocí níž je akce definována.